2013年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试

数学试卷（理工类）答案及评分标准

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

B

B

B

C

C

D

C

B

B

D



二、填空题：

13.
14.
15.
16.

三、解答题：

17. (Ⅰ)整理得
……………………………… 4分

又
得
……………………………… 6分

(Ⅱ)由（1）知
…………………………… 8分

所以
…………………………………… 12分

18. 解: (Ⅰ) 第六组
···························2分

第七组
···························4分

估计人数为
··························6分

(Ⅱ)
可能的取值为0,1, 2, 3. ························7分

所以
的分布列

0

1

2

3

















·············10分

=
. ····················· 12分

19.(Ⅰ)


，分别为
的中点，

为矩形，
················· 2分

,又

面
,
面
,

平面
⊥平面
····················· 4分

(Ⅱ)
,又
，

又
,所以
面
,
··················6分

法一：建系
为轴，
为轴，
为轴,

，
,

平面
法向量
，平面
法向量
··········9分

，可得
. ·············12分

法二：连
交
于点,四边形
为平行四边形，所以为
的中点，连
,

则
,
面
,
,

作
于
点，所以
面
,

连
,则
,
即为所求 ············· 9分

在
中，
,

解得
·············12 分

(Ⅰ)由已知
解得
，
，方程为
·······3 分

(Ⅱ) 设
，则

（1）当直线
的斜率存在时，设方程为

联立得：

有
①

由以
为直径的圆经过坐标原点O可得：
·

整理得：
②

将①式代入②式得：
, ··········· 6 分

又点
到直线
的距离

·········· 8 分

所以
·········· 10 分

(2) 当直线
的斜率不存在时，设方程为
（
）

联立椭圆方程得：

代入
得到
即
，

综上：
的面积是定值

又
的面积
，所以二者相等. ·······12分

(Ⅰ) 由原式
， ················1分

令
，可得
在
上递减，

在
上递增，所以

即
···············3分

（Ⅱ）

，
，

时，函数
在
单调递增 ···············5分

，

，

，

，
必有极值，在定义域上不单调··············8分

················9分

（Ⅲ）由(I)知
在(0,1)上单调递减

∴
时，
即
················ 10分

而
时，

··············· 12分

22.（I）∵
，∴
，

又∵
，∴
，∴
∽

∴
又∵
，∴
···5分

（II）
，
，

是⊙
的切线，
，
·······10分

23.（Ⅰ）圆
的极坐标方程为：
·········5 分

（Ⅱ）圆心到直线距离为，圆半径为
，所以弦长为 ··········· 10分

24.（Ⅰ）
的解集为：
·········· 5分

（Ⅱ）
·········· 10 分