本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分。共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项正确．）

1．设a∈R，若
为纯虚数，则a的值为

A． 1 B．0 C．－1 D．1

2．不等式
>0的解集是

A．（2，＋∞） B．（－2，1）∪（2，＋∞）

C．（－2，1） D．（－∞，－2）∪（1，＋∞）

3．已知向量a＝（3，4），b＝（2，－1），如果向量a＋kb与b垂直，则实数k的值为

A．
B．
C．2 D．－

4．已知关于x的函数y＝
（2－ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是

A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．[2，＋∞）

5．从正方体的八个顶点中任取四个点连线，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的

度数不可能是

A．30° B．45° C．60° D．90°

6．设双曲线
的焦点为F1、F2，过F1作x轴的垂线与该双曲线相交，其中一个交点为M，则｜
｜＝

A．5
B．4
C．3
D．2

7．若一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为( )

A．
B．
C．1 D．

8．已知△ABC和点M满足
．若存在实数m使得
成立，则m=( )

A．2 B．3 C．4 D．5

9．设函数
，则
( )

A．在区间[
，
]上是减函数 B．在区间[
，
]上是增函数

C．在区间[
，
]上是增函数 D．在区间[
，
]上是减函数

10．已知命题p：函数
(a≠0)在(0，1)内恰有一个零点；命题q：函数
在(0，+)上是减函数．若p且
为真命题，则实数a的取值范围是( )

A．a>1 B．a≤2 C．12

11．从l、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有 ( )

A．51个 B．54个 C．12个 D．45个

12．设P为椭圆上一点，且∠PF1F2=30o，∠PF2F1=45o，其中F1，F2为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于( )

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卷的相应位置上。）

13．已知
为纯虚数，则复数
的共轭复数为 。

14．地面上有三个同心圆（如右图），其半径分别为3、2、1。若向图[

中最大的圆内投点且投到图中阴影区域的概率为
，则两直线所

夹锐角的弧度数为 。

15．如图，过抛物线
的焦点F的直线
依次交抛物线及

其准线于点A、B、C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程

是 。

16．下列说法：

①“
”的否定是“
”；

②函数
的最小正周期是

③命题“函数
处有极值，则
”的否命题是真命题；

④
上的奇函数，
时的解析式是
，则
时的解析式为
其中正确的说法是 。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且
，
，
。

（1）求
的值；

（2）求ΔABC的面积。

18．（本小题满分12分）

某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背。为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如XIQ、GEH），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验。不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验。

两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不含右端点）

（1）估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；

（2）从乙组准确回忆因结束在[12,24)范围内的学生中随机选3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量X，求X分布列及数学期望；

（3）从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明理由。

19．（本小题满分12分）

设数列
的前项和为
，且满足

（1）求数列
的通项公式；

（2）在数列
的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列
，在
两项之间插入个数，使这
个数构成等差数列，求
的值；

（3）对于（2）中的数列
，若
，并求
（用表示）．

20.（本小题满分12分）

设椭圆
的左、右焦点分别为
，上顶点为，离心率为
，在轴负半轴上有一点，且

（1）若过
三点的圆恰好与直线
相切，求椭圆C的方程；

（2）在（1）的条件下，过右焦点
作斜率为的直线与椭圆C交于
两点，在轴上是否存在点
，使得以
为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由．

21．（本题满分12分）

已知
，函数

（1）求
的极小值；

（2）若
在
上为单调增函数，求的取值范围；

（3）设
，若在
（是自然对数的底数）上至少存在一个
，使得
成立，求的取值范围．

23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

（1）若不等式
的解集为
，求实数a，m的值。

（2）当a=2时，解关于x的不等式

理科数学 参考答案

一、选择题

DBDBA BABBC AC

填空题

13.
14.
15.
16.①④

三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分12分）

18.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）∵
，

由甲图知，甲组有
（人），∴乙组有20人．

又∵
，

∴识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的在甲组中有1人

乙组有
（人）

∴

即估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的人数为180人．

（Ⅱ）由乙图知，乙组在
之间有
（人）

在
之间有
（人）

∴
的可能取值为0,1,2,3

，

，

，

∴
的分布列为

0

1

2

3

















数学期望
．

（Ⅲ）参考答案：

甲组学生准确回忆音节数共有：
个

故甲组学生的平均保持率为

乙组学生准确回忆音节数共有：

个

故乙组学生平均保持率为
，

所以临睡前背单词记忆效果更好.
（只要叙述合理都给分）

20．解：（1）由题意
，得

，所以

又
由于
，所以
为
的中点，

所以

所以
的外接圆圆心为
，半径
…………………3分

又过
三点的圆与直线
相切，

所以
解得
，

所求椭圆方程为
…………………………………………………… 6分

21．解：（1）由题意，
，
，∴当
时，
；当
时，
，所以，
在
上是减函数，在
上是增函数，故
． …………………………………………………………………4分

（2）
，
，由于
在
内为单调增函数，所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，故
，所以的取值范围是
．…………………9分

（3）构造函数
，

当
时，由
得，
，
，所以在
上不存在一个
，使得
．

当
时，
，因为
，所以
，
，所以
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
，所以要在
上存在一个
，使得
，必须且只需
，解得
，故的取值范围是
．…………………

另法:（Ⅲ）当
时，
．

当
时，由
，得
， 令
，则
，所以
在
上递减，
．

综上，要在
上存在一个
，使得
，必须且只需
．

……………………………………………………………………………………………

23. （Ⅰ）解：由
得
，

所以
解之得
为所求． ┄┄┄┄3分

(Ⅱ)解：当
时,
，

所以
，①

当
时，不等式①恒成立，即
；

当
时，不等式①

解之得
或
或
，即
；

综上，当
时，原不等式的解集为，

当
时，原不等式的解集为
． ┄┄┄┄10分