北京市西城区2013届高三下学期(4月)一模数学(文)试卷

2013.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知全集
，集合
，
，那么



（A）

（B）

（C）

（D）





2．复数



（A）

（B）

（C）

（D）





3．执行如图所示的程序框图．若输出
，则输入

角

（A）

（B）

（C）

（D）





4．设等比数列
的公比为，前项和为
，且
．若
，则的取值范围是



（A）

（B）



（C）

（D）





5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）

视图是边长为的正方形，该正三棱柱的表

面积是

（A）
（B）

（C）
（D）





6．设实数，满足条件
则
的最大值是



（A）

（B）

（C）

（D）





7．已知函数
，则“
”是“
，使
”的



（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件



（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件





8．如图，正方体
中，是棱
的

中点，动点在底面
内，且
，则

点运动形成的图形是



（A）线段

（B）圆弧



（C）椭圆的一部分

（D）抛物线的一部分





第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知向量
，
．若向量
与
垂直，则实数
______．

10．已知函数
则
______．

11．抛物线
的准线方程是______；该抛物线的焦点为，点
在此抛物线上，且
，则
______．

12．某厂对一批元件进行抽样检测．经统计，这批元件

的长度数据 (单位：
)全部介于
至
之间．

将长度数据以
为组距分成以下
组：
，

，
，
，
，

，得到如图所示的频率分布直方图．若长

度在
内的元件为合格品，根据频率分布直

方图，估计这批产品的合格率是_____．

13．在△
中，内角，，
的对边边长分别为，
，，且
．若
，则△
的面积是______．

14．已知数列
的各项均为正整数，其前项和为
．若
且
，

则
______；
______.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数
的一个零点是
．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）设
，求
的单调递增区间．

16．（本小题满分14分）

在如图所示的几何体中，面
为正方形，面
为等腰梯形，
//
，
，
，
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求四面体
的体积；

（Ⅲ）线段
上是否存在点
，使
//平面
？

证明你的结论．

17．（本小题满分13分）

某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过小时收费
元，

超过小时的部分每小时收费
元（不足小时的部分按小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过小时．

（Ⅰ）若甲停车小时以上且不超过小时的概率为
，停车付费多于
元的概率为
，求甲

停车付费恰为
元的概率；

（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为
元的概率．

18．（本小题满分13分）

已知函数
，
，其中
．

（Ⅰ）求
的极值；

（Ⅱ）若存在区间
，使
和
在区间
上具有相同的单调性，求的取值范围．

19．（本小题满分14分）

如图，已知椭圆
的左焦点为，过点的直线交椭圆于
两点，线段
的中点为
，
的中垂线与轴和轴分别交于
两点．

（Ⅰ）若点
的横坐标为
，求直线
的斜率；

（Ⅱ）记△
的面积为
，△
（
为原点）的面

积为
．试问：是否存在直线
，使得
？说明理由．

20．（本小题满分13分）

已知集合
．

对于
，
，定义
；

；与之间的距离为
．

（Ⅰ）当
时，设
，
，求
；

（Ⅱ）证明：若
，且
，使
，则
；

（Ⅲ）记
．若，
，且
，求
的最大值．

北京市西城区2013年高三一模试卷

高三数学（文科）参考答案及评分标准

2013.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1． B； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C； 6．C； 7．A； 8．B．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．
； 10．
； 11．
，；

12．
； 13．
； 14．
，
．

注：11、14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：依题意，得
， ………………1分

即
， ………………3分

解得
． ………………5分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得
． ………………6分

………………8分

． ………………10分

由
，

得
，
． ………………12分

所以
的单调递增区间为
，
． ………………13分

16．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：在△
中，

因为
，
，
，

所以
． ………………2分

又因为
，

所以
平面
． ………………4分

（Ⅱ）解：因为
平面
，所以
．

因为
，所以
平面
． ………………6分

在等腰梯形
中可得
，所以
．

所以△
的面积为
． ………………7分

所以四面体
的体积为：
． ………………9分

（Ⅲ）解：线段
上存在点
，且
为
中点时，有
// 平面
，证明如下：

………………10分

连结
，与
交于点
，连接
．

因为
为正方形，所以
为
中点． ………………11分

所以
//
． ………………12分

因为
平面
，
平面
， ………………13分

所以
//平面
．

所以线段
上存在点
，使得
//平面
成立． ………………14分

17．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：设“甲临时停车付费恰为
元”为事件， ………………1分

则
．

所以甲临时停车付费恰为
元的概率是
． ………………4分

（Ⅱ）解：设甲停车付费元，乙停车付费
元，其中
． ………………6分

则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：

，共
种情形． ………………10分

其中，
这种情形符合题意． ………………12分

故“甲、乙二人停车付费之和为
元”的概率为
． ………………13分

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：
的定义域为， 且
． ………………2分

① 当
时，
，故
在上单调递增．

从而
没有极大值，也没有极小值． ………………4分

② 当
时，令
，得
．

和
的情况如下：





















↘



↗



故
的单调减区间为
；单调增区间为
．

从而
的极小值为
；没有极大值． ………………6分

（Ⅱ）解：
的定义域为
，且
． ………………8分

③ 当
时，
在上单调递增，