北京市东城区2012-2013学年度第二学期综合练习（一）

高三数学 （理科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集
，集合
，那么集合
为

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）已知
为平行四边形，若向量
，
，则向量
为

（A）
（B）

（C）
（D）

（3）已知圆的方程为
，那么该圆圆心到直线
（为参数）的距离为

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于
，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于
，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于
且小于
，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）已知数列
中，
，
，
，那么数列
的前
项和等于

（A）
（B）
（C） （D）

（6）已知
，
分别是双曲线
：

的两个焦点，双曲线
和圆
：
的一个交点为，且
，那么双曲线
的离心率为

（A）
（B）
（C） （D）

（7）已知定义在上的函数
的对称轴为
，且当
时，
.若函数
在区间
（
）上有零点，则
的值为

（A）或
（B）或
（C）或
（D）或

（8）已知向量
，
，
是坐标原点，若
，且
方向是沿
的方向绕着点按逆时针方向旋转
角得到的，则称
经过一次
变换得到
.现有向量
经过一次
变换后得到
，
经过一次
变换后得到
，…，如此下去，
经过一次
变换后得到
.设
，
，
，则
等于

（A）
（B）

（C）
（D）

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）复数
的虚部是 .

（10）
的展开式中
的系数是 ．

（11）如图是甲、乙两名同学进入高中以来
次体育测试成绩的茎叶图，则甲
次测试成绩的平均数是 ，乙
次测试成绩的平均数与中位数之差是 ．

（12）如图，已知
与圆
相切于，半径
，
交

于，若
,
，则
，
．

（13）有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，

丙不排在两头，则这样的排法共有 种．

（14）数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一

行增加两项，若

， 则位于第10行的第8列的项

等于 ，
在图中位于 ．（填第几行的第几列）

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

在△
中，三个内角，，
的对边分别为，
，，且
．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若
，求
的最大值．

（16）（本小题共14分）

如图，已知
是直角梯形，且
，平面
平面
，
，

，
，是
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求平面
与平面
所成锐二面角大小的余弦值．

（17）（本小题共13分）

某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次.

（Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率；

（Ⅱ）记奖品个数为随机变量
，求
的分布列及数学期望.

（18）（本小题共14分）

已知函数
，（为常数，为自然对数的底）．

（Ⅰ）当
时，求
；

（Ⅱ）若
在
时取得极小值，试确定的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由
的极大值构成的函数为
，将换元为，试判断曲线
是否能与直线
（为确定的常数）相切，并说明理由．

（19）（本小题共13分）

已知椭圆

的两个焦点分别为
，
，离心率为
，过
的直线
与椭圆
交于
，
两点，且△
的周长为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过原点
的两条互相垂直的射线与椭圆
分别交于，两点，证明：点
到直线
的距离为定值，并求出这个定值．

（20）（本小题共13分）

设是由个有序实数构成的一个数组，记作：
.其中

称为数组的“元”，称为
的下标. 如果数组
中的每个“元”都是来自 数组中不同下标的“元”，则称
为的子数组. 定义两个数组
，
的关系数为
.

（Ⅰ）若
，
，设是的含有两个“元”的子数组，求
的最大值；

（Ⅱ）若
，
，且
，为的含有三个“元”的子数组，求
的最大值；

（Ⅲ）若数组
中的“元”满足
.设数组
含有四个“元”
，且
，求与
的所有含有三个“元”的子数组的关系数

的最大值.

北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（一）

数学参考答案 （理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）C （3）C （4）A

（5）C （6）D （7）A （8）B

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9） （10）
（11）

（12）

（13）
（14）
第
行的第
列

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）因为
，

由正弦定理可得
，

因为在△
中，
，

所以
.

又
，

所以
.

（Ⅱ）由余弦定理
，

因为
，
，

所以
.

因为
，

所以
.

当且仅当
时，
取得最大值
.

（16）（共14分）

证明（Ⅰ）取
的中点，连结
，
．

因为是
的中点，

所以
，
．

因为
，且
，

所以
，且
，

所以四边形
是平行四边形．

所以
．

因为
平面
，
平面
，

所以
平面
．

（Ⅱ）因为
，平面
平面
，

所以以点为原点，直线
为轴，直线
为轴，建立如图所示的空间直角坐标系
，则轴在平面
内．

由已知可得
，
，
，
．

所以
，
，

设平面
的法向量为
．

由

所以

取
，

所以
．

又因为平面
的一个法向量为

．

所以
．

即平面
与平面
所成锐二面角大小的余弦值为
．

（17）（共13分）

（Ⅰ）由题意可知所得奖品个数最大为10，概率为：

．

（Ⅱ）
的可能取值是：
．

0

2

4

6

8

10



















所以
．

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）当
时，
．

．

所以
．

（Ⅱ）

．

令
，得