北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（一）

数学 （文科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集
，集合
，那么集合
为

（A）
（B）
（C）
（D）

（2） “
”是“直线
与直线
平行”的

（A） 充分不必要条件 　（B） 必要不充分条件

（C） 充要条件 　　　　　（D） 既不充分也不必要条件

（3）已知
为平行四边形，若向量
，
，则向量
为

（A）
（B）

（C）
（D）

（4）执行如图所示的程序框图，输出的结果是
，

则判断框内应填入的条件是

（A）

（B）

（C）

（D）

（5）已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)， 那么这个几何体的侧面积是

（A）
（B）

（C）
（D）

（6）已知点
，抛物线
的焦点是，若抛物线上存在一点，使得
最小，则点的坐标为

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）对于函数
，部分与的对应关系如下表：

1

2

3

4

5

6

7

8

9





7

4

5

8

1

3

5

2

6



数列
满足
，且对任意
，点
都在函数
的图象上，则
的值为

（A）9394 （B）9380 （C）9396 （D）9400

（8）已知定义在上的函数
的对称轴为
，且当
时，
.若函数
在区间
（
）上有零点，则
的值为

（A）或
（B）或
（C）或
（D）或

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知是虚数单位，那么
等于 ．

（10）如图是甲、乙两名同学进入高中以来
次体育测试成绩

的茎叶图，则甲
次测试成绩的平均数是 ，乙
次测试成

绩的平均数与中位数之差是 ．

（11）不等式组
表示的平面区域为，则区域的面积为 ，
的最大值为 ．

（12）从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为 ．

（13）函数
的图象为
，有如下结论：①图象
关于直线
对称；②图象
关于点
对称；③函数
在区间
内是增函数，其中正确的结论序号是 ．(写出所有正确结论的序号)

（14）数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一

行增加两项，若

， 则位于第10行的第8列的项

等于 ，
在图中位于 ．（填第几行的第几列）

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

在△
中，三个内角，，
的对边分别为，
，，且
．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若
，求
的最大值．

（16）（本小题共14分）

如图，已知
平面
，
平面
，为
的中点，若

．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
．

（17）（本小题共13分）

为了解高三学生综合素质测评情况，对2000名高三学生的测评结果进行了统计，其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表：

优秀

良好

合格



男生人数



380

373



女生人数



370

377





（Ⅰ）若按优秀、良好、合格三个等级分层，在这2000份综合素质测评结果中随机抽取80份进行比较分析，应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份？

（Ⅱ）若
，
，求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率．

（18）（本小题共14分）

已知函数

．

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）讨论
的单调性；

（III）若
存在最大值
，且
，求的取值范围．

（19）（本小题共13分）

已知椭圆
：

的两个焦点分别为
，
，离心率为
，且过点
.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）
，
，，
是椭圆
上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线
和
分别过点
，
，且这两条直线互相垂直，求证：
为定值.

（20）（本小题共13分）

设是由个有序实数构成的一个数组，记作：
.其中

称为数组的“元”，称为
的下标. 如果数组
中的每个“元”都是来自 数组中不同下标的“元”，则称
为的子数组. 定义两个数组
，
的关系数为
.

（Ⅰ）若
，
，设是的含有两个“元”的子数组，求
的最大值；

（Ⅱ）若
，
，且
，为的含有三个“元”的子数组，求
的最大值.

北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（一）

数学参考答案（文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）C （3）C （4）A

（5）C （6）D （7）A （8）A

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）
（10）
（11），

（12）
（13）①②③ （14）
第
行的第
列

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）因为
，

由正弦定理可得
，

因为在△
中，
，

所以
.

又
，

所以
.

（Ⅱ）由余弦定理
，

因为
，
，

所以
.

因为
，

所以
.

当且仅当
时，
取得最大值
.

（16）（共14分）

证明：（Ⅰ）取
的中点
，连结
，
.

因为是
的中点，

则
为△
的中位线．

所以
，
．

因为
平面
，
平面
，

所以
．

又因为
，

所以
．

所以四边形
为平行四边形．

所以
．

因为
平面
，
平面
，

所以
平面
．

（Ⅱ）因为
，为
的中点，

所以
．

因为
，
平面
，

所以
平面
．

又
平面
，

所以
．

因为
，

所以
平面
．

因为
，

所以
平面
．

又
平面
，

所以平面
平面
．

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）由表可知，优秀等级的学生人数为：

．

因为
，

故在优秀等级的学生中应抽取
份．

（Ⅱ）设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件．

因为
，
，
，且，为正整数，

所以数组
的可能取值为：

，
，
，…，
，共个．

其中满足
的数组
的所有可能取值为：

，
，
，
，
共5个，即事件包含的基本事件数为
．

所以
．

故优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为
．

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）当
时，
．

．

所以
．

又
，

所以曲线
在点
处的切线方程是
，

即
．

（Ⅱ）函数
的定义域为
，

．

当
时，由
知
恒成立，

此时
在区间
上单调递减．

当
时，由
知
恒成立，

此时
在区间
上单调递增．

当
时，由
，得
，由
，得
，

此时
在区间
内单调递增，在区间
内单调递减．

（III）由（Ⅱ）知函数
的定义域为
，

当
或
时，
在区间
上单调，此时函数