重庆南开中学高2013级高三1月月考

数学试题(理科)

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分l50分，考试时间l20分钟。

第I卷(选择题共50分)

一.选择题：本大题共l0小题，每小题5分,共50分．在每小题给出的四个备选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．已知
，若
，则k=( )

2．已知

则D中所含元素个数为( )

A．8 B．10 C．16 D．25

3．已知
，若
，则
=( )

A．0．2 B．0．3 C．0．7 D．0．8

4．
展开式中的常数项为( )

A．一80 B．80 C．一l60 D． 160

5．若抛物线
上任意一点P到其焦点F的距离均大于l，则实数p的取值范围是( )

A．(0，1) B．(0,2) C．(1，+∞) D．(2，+∞)

6．若函数
的部分图像如下图所示，其中
，则f(x)=( )

7．执行如图所示的程序框图后，输出的结果是( )

A．201l B．2012

C．2013 D．2014

8．已知函数
，在
上任取一数a，在
上任取一数b，则满足
的概率为( )

9．已知函数f(x)对任意x∈R满足f(x+1)=f(x-1)，当X∈[-l，1)时，

，若
，则
的最小值为( )

10．将4个相同的白球和4个相同的黑球放入8个编号分别为l，2，…，8的盒子，每个盒子放1个球，若白球所对应盒子的编号之和大于黑球所对应盒子的编号之和，则称此种放球的方法为“优白放法”．那么，所有不同的“优白放法”共有( )

A．31种 B．32种 C．35种 D．70种

第II卷(非选择题，共l00分)

二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题。每小题5分，共25分．把答案填写在答

题卡相应位置上．

11．已知
，且
，则
= ．

12．已知
分别是双曲线
的左、右焦点，A是其右顶点，过作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是
的重心，若
，则双曲线的离心率为 ．

13．已知数列
和
满足：
，其中
，则
．

考生注意：14、15、1 6为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．

14．直线
(t为参数)与曲线
(
为参数且a>0)相切，则a= .

15．如图，圆O的半径为l，直线AB与圆O相切于点B，且
，连接A0并延长交圆O于C、D两点，则
的面积为 。

16．若不等式
的解集为
，则实数a= 。

三、解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(本小题满分13分，(1)问6分，(2)问7分)

已知
，函数

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)当时
，求f(x)的值域.

18．(本小题满分13分，(1)问6分，(2)问7分)

已知等比数列的公比q>0，
，且
是
与
的等差中项。

(1)求
的通项公式;

(2)令
，记数列
的前n项和为
，当n为何值时,
取得最大值?

19. (本小题满分13分，(1)问5分，(2)问8分)

某航空公司在机场设有一个服务窗口，假设每位乘客办理登记手续所需时间相互独立，且都是整数分钟，对以往乘客办理登机手续所需时间统计结果如下：

时间(分钟)

2

3

4

5



频率

0.2

0.3

0.4

0.1



从第一位乘客开始办理登机手续时计时。

（1）估计第三位乘客等待5分钟才开始办理登机手续的概率；

（2）至第4分钟末已经办理完登机手续的乘客人数记为X，求X的分布及数学期望。

20．(本小题满分12分，(1)问5分，(2)问7分)

已知函数

(1)若f(x)在x=1处的切线与直线x+y=0垂直，求a的值。

(2)若f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围．

21．(本小题满分12分，(1)问4分，(2)问8分)

已知椭圆
的离心率为
，焦距为2．

（1）求椭圆的方程；

(2)过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，C,D为椭圆上位于直线PQ异侧的两个动点，满足
，求证：直线CD的斜率为定值，并求出此定值。

22．(本小题满分12分，(1)问4分，(2)问8分)

设数列
满足：

(1)若数列
是无穷常数列，求a的值；

(2)当a∈(0，1)时，对数列
的任意相邻三项
证明：