建瓯二中2013届高三上学期期末考试数学理试题

试卷总分：150分 考试时间：2013.1.29（7：30-9：30） 命题人：雷愿平

★温馨提示：所有答案均填写到答题卡上，答在试卷上一律无效★

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请把它填在答案卷对应框内）

1．复数i(1一i)等于

A．1+i B．1一i C．一1+i D．一1一i

2．设全集为R，A={x|—1＜x＜1}，B={ x| x≥0}，则CR(A∪B)等于

A．{x|0≤x＜1} B．{x| x≥0} C．{x|x≤-1} D．{x|x＞-1}

3．已知某一随机变量 ξ 的概率分布列如下，且Eξ = 6.3，则a的值为

ξ

4

a

9



P

0.5

0.1

b



 A．5 B．6 C．7 D．8

4．已知条件p: k=
，条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是

A．若m∥α，nα，则m∥n B．若m∥α，mβ，α∩β=n，则m∥n

C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α∩β =m，m⊥n，则n⊥α

6. 运行下图所示框图的相应程序,若输入a，b的值分别为
和
，则输出M的值是

A.0 B. 1 C.2 D. -1

7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积等于

A．72 B．66 C．60 D．30

8．某学校开设10门选修课程，其中3门是技能类课程，2门是理论类课程．学校规定每位学生应选修4门，且技能类课程和理论类课程每类至多选修1门，则不同的选修方法种数是

A．50 B．100 C．11O D．115

9．以下说法错误的是

A．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是

B．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是

C．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是

D．空间两条直线所成角的取值范围是

10.对于函数
，若存在区间
（其中
），使得
则称区间M为函数
的一个“稳定区间”。给出下列4个函数：①
②
③
④
其中存在“稳定区间”的函数有

A．①③ B．①②③④ C．②④ D．①②③

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请把结果直接填在答案卷对应的横线上）

11. 已知
，若
，则

12．二项式(
)6的展开式中，常数项为_____________

13．已知抛物线
焦点恰好是椭圆
的右焦点，且两条曲线交点的连线过点，则该椭圆的离心率为

14. 设数列
的前项和为
，且
，则
=______

15．在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P(x，y)，则| x |+| y | ≤ 2的概率为 ．

三、解答题（本大题共６小题，共80分．解答应写出文字说明，过程或演算步骤）

16.（本小题满分13分）

已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx(x∈R)

(I)求f(
)的值； (Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．

17．（本小题满分13分）

甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为

，乙每次投中的概率为
求：

（I）乙投篮次数不超过1次的概率；

（Ⅱ）记甲、乙两人投篮次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.

18.（本小题满分13分）

已知等差数列
是递增数列，且满足

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
，求数列
的前项和

19．（本小题满分13分）

如图，在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E、F分别为AA1，和CC1的中点．

(I)求证：EF∥平面ACD，；

(Ⅱ)求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；

(Ⅲ)在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B的大小为30°?若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

20. （ 本小题满分14分）

已知中点在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线C过点
，且点Q在x 轴的射影恰为该双曲线的一个焦点F1.

（I）求双曲线C的方程；

（II）命题：“过椭圆
的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线
交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则
为定值，且定值是
”命题中涉及了这么几个要素；给定的圆锥曲线E，过该圆锥曲线焦点F的弦AB，AB的垂直试类比上述命题，写出一个关于双曲线C的类似的正确命题，并加以证明：

（III）试推广（II）中的命题，写出关于圆锥的曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）.

21．（本小题满分14分）

已知函数
的图象过坐标原点O，且在点
处的切线的斜率是-5.

（I）求实数b、c的值；

（II）求
在区间[-1，2]上的最大值；

（III）对任意给定的正实数a，曲线
上是否存在两点P、Q，使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴. 若存在请证明，若不存在说明理由。

建瓯二中2012-2013学年度高三年级上学期期末考试

数学试题（理科）参考答案与评分标准

选择题：10小题，每小题5分，共50分

、

二、填空题：5小题，每小题4分，共20分

11 2 12. 15 13.
14. 0 15.

三、解答题：6小题，共80分

16．解：

…………………………………… 5分

…………………………………… 7分

…………………………10分

即
时，f(x)单调递增.

∴f(x)单调递增区间为[
，
]
…………………………13分

17.解：记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B。

“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况：一种是甲第1次投篮投中，另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中，

所求的概率是P = P（A+

=

乙投篮次数不超过1次的概率为
…………7分

（2）甲、乙投篮总次数ξ的取值1，2，3，4，

…………9分

甲、乙投篮次数总和ξ的分布列为

ξ 1 2 3 4

P



…………11分

甲、乙投篮总次数ξ的数学期望为
…………13分

19.解： 如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x 轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知

得D(0，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、

C(0，2，0)、B1(2，2，2)、D1(0，0，2)、

E(1，0，2 )、F(0，2，1)．…………2分

(Ⅰ)易知平面ACD1的一个法向量是

=(2，2，2). …………………4分

又∵
=(-1,2，-1)，

由
·
= -2+4-2=0，

∴
⊥
，而EF平面ACD1，

∴EF∥平面ACD1……………………………………………………5分

(Ⅱ) ∵
=(0,2，0)，cos<
,
>=

∴异面直线EF与AB所成角的余弦值为
……………………8分.

(Ⅲ)设点P(2，2，t)(0

则

∵
=(0，2，t),
=(-2，2，0)，

∴
取
.

易知平面ABC的一个法向量
，

依题意知，<
，
>=30°或<
，
>=150°，

∴|cos<
，
>|=
…… (10分)即
，解得

∵
，当BP的长为
时，二面角P-AC-B的大小为30°. ……………………13分

20. （I）依题意，可设双曲线C的方程为

由已知得，C的一个焦点F1（2，0），

所以C的另一个焦点F2（-2，0） …………1分

由

…………3分

得
所以

所以双曲线C的方程为
…………5分

（II）关于双曲线C的类似命题为：过双曲线
的焦点F1（2，0）作与x轴不垂直的任意直线
交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则
为定值，且定值是
…………7分

证明如下：

由于
与x轴不垂直，可设直线
的方程为

①当
时，由

依题意
与C有两个交点A、B，

所以

设
则

所以线段AB的中点P的坐标为
…………8分

AB的垂直平分线MP的方程为：

令y=0，解得
即

所以
…………9分

又

所以
…………11分

（注：若考生用左焦点进行叙述并证明，同样给分）

（III）过圆锥曲线E的焦点F作与焦点的在的对称轴不垂直的任意直线
交E于A、B两点，线段AB的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点M，

则
为定值，定值是
（共中e为圆锥曲线E的离心率）…………13分

21.解：（Ⅰ）当

依题意，得
解得b=c=0. …………4分

（II）由（I）知，

①当

令
x变化时，
的变化如下表：

（-1，0）

0











-

0

+

0

-





单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减



又

上的最大值为2.②当
时，

当
当
上单调递增，

在[1，2]上的最大值为
综上所述，

当
在[-1，2]上的最大值为2；

当
在[-1，2]上的最大值为
…………10分

（III）假设曲线
上存在两点P、Q满足题设要求，

则点P、Q只能在y轴的两侧，不妨设
则

为直角三角形，
（1）

是否存在P、Q等价于方程（1）是否有解.若
代入（1）式得，

即
，而此方程无实数解 ，

因此

代入（1）式得，

即
（*）考察函数

则

上单调递增，

当
，

的取值范围是

方程（*）总有解，即方程（1）总有解.

因此对任意给定的正实数a，

曲线
上总存在两点P、Q使得
是以点O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上. …………14分