重庆南开中学高2013级高三(上)1月月考

数学试题(文科)

一、选择题(每小题5分，l0小题，共50分，每小题只有一个选项

符合要求)

1．在复平面内，复数
对应的点位于( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设集合
，若
，则
=( )

A．{3，0，1} B．{3，0，2} C．{3，0} D．{3,0，1，2}

3．若
图象相邻两条对称轴之间的距离为
，则w的值为( )

4．右图几何体的主(正)视图和左(侧)视图都正确的是( )

5.下列有关命题的说法正确的是（ ）

A．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”

B．命题“若COSx=COSy，则x=y”的逆否命题为真命题

C．命题“
，使得
”的否定是：“
，
”

D．“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题

6．设
分别是双曲线
的左、右焦点P在双曲线上，且
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列
是等差数列，
，则

的值( )

A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可以为正数也可以为负数

8．已知实数x∈[0,4]，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于23的概率为( )

9．设函数
(x∈R)，
若函数y=f(x)图象与直线y=k(k为常数)有且只有一个交点，则k的取值范围是( )

10．已知a>0，过M(a，0)任作一条直线交抛物线
(p>0)于P，Q两点，若
为定值，则a=( )

A．
B．2p C.
D．P

二、填空题： (本大题5个小题，每小题5分，共25分)各题答案

必须填写在答题卡上相应位置．

11．已知
，若
，则
的值是 .

12．若椭圆
的一个顶点是圆
的圆心，且短轴长为圆的直径，则该椭圆的离心率为 .

13．已知向量
，且
，变量x，y满足约束条件
则z的最大值为 .

14．数列
满足：
，且
，若数列的前2012项之和为2013，则前2013项的和等于 .

15．若a，b均为正实数，且
恒成立，则m的最小值是 .

三、解答题： (本大题6个小题，共75分)各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)

16.(本小题满分13分)

已知数列
为等差数列，且
。

(1)求数列
的通项公式；

(2)证明
．

17．(本小题满分13分)

在△ABC中，内角A、B、C所对边长分别为a，b，c，
，a=4．

(1)求
的最大值及
的取值范围；

(2)求函数
的最值．

18．(本小题满分13分)

某校高三某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，

但可见部分如下，据此解答如下问题：

(1)求全班人数；

(2)求分数在[80，90)之间的人数；并计算频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高；

(3)若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．

19．(本小题满分12分)

在三棱锥P一ABC中，
和
是边长为
的等边三角形，AB=2，0,D分别是AB、PB的中点．

(1)求证：OD∥平面PAC；

(2)求证：平面PAB平面ABC；

(3)求三棱锥P一ABC的体积.

20．(本小题满分12分)

已知函数

(1)a=1时，求F(x)=f(x)一g(x)的单调区间；

(2)若x>1时，函数y=f(x)的图象总在函数y=g(x)的图象的上方，求实数a的取值范围．

21．(本小题满分12分)

如图，抛物线
的焦准距(焦点到准线的距离)与椭圆
的长半轴相等，设椭圆的右顶点为A，
在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且
的面积为

(1)求椭圆
的标准方程；

(2)过A的直线
交抛物线
于C，D两点，射线OC，OD分别交椭圆
于E，F两点.

①求证：D点在以EF为直径的圆的内部；

②记
的面积分别为
，问是否存在直线
，使得
?请说明理由.