山西省太原市

2013年高三年级模拟（一）

数学（理）试题

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2．回答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

3．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．

1．复数
（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为

A．4 B．－4 C．1 D．－1

2．设集合
则
=

A．[0．1） B．[0，1] C．
D．

3．下列说法正确的是：

A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1

B．“x=－1”是
”的不要不充分条件

C．命题“
”的否定是“
”

D．命题“若x=y则
”的逆否命题为真命题

4．下列函数中，在[－1，0]上单调递减的是

A．
B．
C．
D．

5．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是

A．1 B．2 C．3 D．4

6．执行如图所示的程序框图，则输出的S=

A．98 B．258 C．642 D．780

7．已知数列{an }的通项公式为
，其前n项和
，则双曲线
的渐近线方程为

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
的图象向左平移
个单位，若所得的曲线关于y轴对称，则实数m的最小值是

A．
B．
C．
D．

9．已知实数x．y满足约束条件
，若函数
的最大值为7，则
的最小值为

A．7 B．

C．
D．18

10．将5名同学分配到A，B，C三个宿舍中，每个宿舍至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A宿舍，则不同的分配方案种数是

A．76 B．100 C．132 D．150

11．已知
是定义在R上的函数
的导函数，且
若
，则下列结论中正确的是

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
若数列
的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答，

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量a，b满足
⊥a，则向量a与b的夹角为 。

14．函数
在点
处的切线方程为 。

15．设抛物线M ：
的焦点F是双曲线
的右焦点，若M与N的公共弦AB恰好过点F，则双曲线N的离心率e= 。

16．在平行四边形ABCD中，
·
，若将△ABD沿BD折成直二面A—BD—C，则三棱锥A—BCD外接球的表面积为 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
。

（I）若b=2，求△ABC的面积；

（Ⅱ）求
的取值范围．

18．（本小题满分12分）

为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将从该市某学校抽取的样本数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12．

（I）求该校报考体育专业学生的总人数n;

（Ⅱ）若用这所学校的样本数据来估计该市的总体情况，现从该市报考体育专业的学生中任选3人，设
表示体重超过60千克的学生人数，求
的分布列和数学期望。

19．（本题满分12分）

已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点D为AC的中点，A1D⊥平面ABC，A1B ⊥ACl

（I）求证：AC1⊥ AlC;

（Ⅱ）求二面角A—A1B—C的余弦值。

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
的离心率为
，点F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线
相切．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过点F2的直线
与椭圆C相交于点M，N两点，求△Fl MN内切圆面积最大的值和此时直线
的方程．

21．（本小题满分12分）

已知函数
为自然对数的底数）。

（I）若不等式
对于一切
恒成立，求a的最小值；

（Ⅱ）若对任意的
，在
上总存在两个不同的
，使
成立，求a的取值范围。

请考生在第22、23、24量题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请把答题卡上所选题目题号后的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲

如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P．E为⊙O上一点，
，

DE交AB于点F．

（I）证明：DF·EF=OF·FP；

（II）当AB=2BP时，证明：OF=BF．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线

过点P（－2，－4）的直线
为参数）与曲线

C相交于点M，N两点．

（I）求曲线C和直线
的普通方程；

（Ⅱ）若|PM|l，| MN|，|PN |成等比数列，求实数a的值

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

（I）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式
的解集不是空集，求实数a的取值范围。