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　　松岗中学2013届理科数学三四大题限时训练（3）.doc

　　松岗中学2013届理科数学三四大题限时训练（6）.doc

　　松岗中学2013届理科数学三大题限时训练（1）.doc

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　　松岗中学2013届理科数学三大题限时训练（4）.doc

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松岗中学2013届理科数学三/四大题限时训练（1）

1、2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图3所示：

(Ⅰ)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？

(Ⅱ)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？

(Ⅲ)在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求抽取的2名驾驶人员中四川籍人数
的分布列及其均值（即数学期望）。

2、已知△
的面积为
，内角
的对边分别为
，已知

.（Ⅰ）求
的值；（Ⅱ）求
的值；（Ⅲ）求向量
的数量积
.

3、如图4，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）
的侧面
与底面ABC垂直，
，
.(Ⅰ) 求侧棱
在平面
上的正投影的长度． (Ⅱ) 设AC的中点为D，证明
底面
；(Ⅲ) 求侧面
与底面ABC所成二面角的余弦值；

4、已知数列
是一个等差数列，且
，
.（I）求
的通项
；

（II）设
，
,求
的值。

解：(Ⅰ)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法.（3分）

(Ⅱ)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有：
人，

四川籍的有：
人，（4分）

设四川籍的驾驶人员应抽取
名，依题意得
，解得

即四川籍的应抽取2名. （7分）

(Ⅲ)
的所有可能取值为0，1，2；（8分）

，
，
，（10分）

的分布列为：

0

1

2













 （11分）

均值
.（13分）

2解：（Ⅰ）由
，即

得
（2分）

∵
，∴
（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

∵
，∴
（5分）

∴
（6分）

∴
（7分）

∴

（9分）

（Ⅲ）∵
，
（10分）

设向量
与
所成的角为
，则
（11分）

∴

（13分）

3解：（方法一）(Ⅰ) ∵
是斜三棱柱, ∴
平面
，

故侧棱B1B在平面
上的正投影的长度等于侧棱
的长度．(2分)

又
,故侧棱
在平面
的正投影的长度等于
. (3分)

(Ⅱ)证明： ∵
，
，∴

∴三角形
是等腰直角三角形，（5分）

又D是斜边AC的中点，∴
（6分）

∵平面
⊥平面
，∴A1D⊥底面
（7分）

(Ⅲ)作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，∵A1D⊥面ABC，得A1D⊥AB．

∴
平面
，（8分）

从而有
，∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角． （9分）

∵
，∴

∴三角形
是直角三角形，

∴ED∥BC ，又D是AC的中点，

∴
，

∴
，

即侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的余弦值为
. (14分)

4/解：（Ⅰ）设
的公差为
，由已知条件，
，（2分）

解得
，
．（4分）

所以
．（6分）

（Ⅱ）∵
，∴

∴
（8分）

∴

（12分）