苏锡常镇徐连六市2013届高三3月教学情况调研（一）

数学Ⅰ试题 2013.3

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.

1．已知全集
，
，
，则
▲ ．

2．若实数
满足
，其中是虚数单位，则
▲ ．

3．已知
为实数，直线
，
，

则“
”是“
”的 ▲ 条件（请在“充要、充分不

必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个天空）．

4．根据右图的伪代码，输出的结果
为 ▲ ．

5．已知，
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，有下列四个命题：

①若
，且
，则
；②若
，且
，则
；

③若
，且
，则
；④若
，且
，则
．

则所有正确命题的序号是 ▲ ．

6．正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3，把两个这样的四面体抛在桌面上，

则露在外面的6个数字恰好是2，0，1，3，0，3的概率为 ▲ ．

7．已知
，则
的值为 ▲ ．

8．已知向量
，
的夹角为
，且
，
，则
▲ ．

9．设
，
分别是等差数列
，
的前
项和，已知
，
，

则
▲ ．

10．已知
，
是双曲线的两个焦点，以线段
为边作正
，若边
的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为 ▲ ．

11．在平面直角坐标系
中，
，函数
的图像与
轴的交点为
，
为函数
图像上的任意一点，则
的最小值 ▲ ．

12．若对于给定的正实数
，函数
的图像上总存在点
，使得以
为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点
的距离为2，则
的取值范围是 ▲ ．

13．已知函数
，则
▲ ．

14．设函数
的定义域为
，且
，对于任意
，
，
，若
，
，
是直角三角形的三条边长，且
，
，
也能成为三角形的三条边长，那么
的最小值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15．(本小题满分14分)

在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，
，且
，
，
成等差数列．

（1）若
，
，求
的值；

（2）求
的取值范围．

16．(本小题满分14分)

如图，在三棱柱
中，已知
，
，
分别为棱
，
，
的中点，
，
平面
，
，
为垂足．求证：

（1）
平面
；

（2）
平面
．

17．(本小题满分14分)

已知实数
，
，
，函数
满足
，设
的导函数为
，满足
．

（1）求
的取值范围；

（2）设
为常数，且
，已知函数
的两个极值点为
，
，
，
，求证：直线
的斜率
．

18．(本小题满分16分)

某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为
，半径为
（米）的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托
，
，
，
所在圆的圆心都是
、半径都是
（米）、圆弧的圆心角都是
（弧度）；灯杆
垂直于地面，杆顶
到地面的距离为
（米），且
；灯脚
，
，
，
是正四棱锥
的四条侧棱，正方形
的外接圆半径为
（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为
（弧度）．已知灯杆、灯脚的造价都是每米
(元)，灯托造价是每米
(元)，其中
，
，
都为常数．设该灯架的总造价为
(元) ．

（1）求
关于
的函数关系式；

（2）当
取何值时，
取得最小值？

19．(本小题满分16分)

已知椭圆
的左、右顶点分别为
，
，圆
上有一动点
，
在
轴的上方，
，直线
交椭圆
于点
，连结
，
．

（1）若
，求
的面积
；

（2）设直线
，
的斜率存在且分别为
，
，若
，求
的取值范围．

20．(本小题满分16分)

设数列
的各项均为正数，其前
项的和为
，对于任意正整数
，
，
恒成立．

（1）若
，求
，
，
及数列
的通项公式；

（2）若
，求证：数列
成等比数列．

江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研（一）

数学II（附加题）

21．【选做题】本题包括
、
、
、
四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．（选修4－1　几何证明选讲）

（本小题满分10分）

如图，已知
是⊙O的一条弦，
是⊙O上任意一点，过点
作⊙O的切线交直线
于点
，
为⊙O上一点，且
．

求证：
．

B．（选修4—2：矩阵与变换）

（本小题满分10分）

已知矩阵
的一个特征值为
，其对应的一个特征向量为
，已知
，求
.

C．（选修4—4：坐标系与参数方程）

（本小题满分10分）

已知直线的参数方程
（为参数），圆
的极坐标方程：
．

（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）在圆
上求一点
，使得点
到直线的距离最小．

D.（选修4—5：不等式选讲）

（本小题满分10分）

已知
，
，
都是正数，且
，求
的最大值．

[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内．

22．（本小题满分10分）

如图，圆锥的高
，底面半径
，
为
的中点，
为母线
的中点，
为底面圆周上一点，满足
．

（1）求异面直线
与
所成角的余弦值；

（2）求二面角
的正弦值．

23．（本小题满分10分）

（1）山水城市镇江有“三山”——金山、焦山、北固山，一位游客游览这三个景点的概率都是
，且该游客是否游览这三个景点相互独立，用
表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求
的分布列和数学期望；

（2）某城市有
（
为奇数，
）个景点，一位游客游览每个景点的概率都是
，且该游客是否游览这
个景点相互独立，用
表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求
的分布列和数学期望．

答案：

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