泗县二中2013届高三数学周考2

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，

1、设集合M＝｛直线｝，P＝｛圆｝，则集合
中的元素的个数为　　

　　A、0 B、1 C、2 D、0或1或2

2、若sinα>tanα>cotα(
)，则α∈

A．(
，
) B（
，0）　　C．（0，
） D．（
，
）

3、如果奇函数f(x) 是[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是

A.增函数且最小值为－5 B.减函数且最小值是－5

C.增函数且最大值为－5 D.减函数且最大值是－5

4、如果实数x,y满足等式(x－2)2+y2=3，那么
的最大值是

A．
B．
C．
D．

5、已知α、β都是第二象限角，且cosα>cosβ，则

A．α<β B．sinα>sinβ C．tanα>tanβ D．cotα

6、已知等差数列
满足
，则有：　　　　　　　

A、
　　B、
　　C、
　　D、

7、若
，则

的值为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A、1 B、-1 C、0 D、2

8、在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上，两校各派3名代表，校际间轮流发言，对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉，对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂，那么不同的发言顺序共有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A、72种 B、36种 C、144种 D、108种

9、过
的焦点
作直线交抛物线与
两点，若
与
的长分别是
，则
A、
B、
C、
D、
w

10、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直。其中正确命题的个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题：每小题5分，满分20分．

11、已知函数
在区间
上为增函数，则实数a的取值范围是 。

12、一个几何的三视图如图所示：其中，正视图中△ABC的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体几的体积为

13、现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13场比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 。

14、设M, N分别是曲线
和
上的动点，则M, N间的最小距离是　　

15．已知双曲线
的右焦点为
,过
且斜率为
的直线交
于
两点，若
,则
的离心率为

三．解答题：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

16．（ 12分）已知复数
,
,且
．（Ⅰ）若
且

，求
的值；（Ⅱ）设
＝
，求
的最小正周期和单调增区间．

17．（ 12分）如图（1），
是等腰直角三角形，
，
、
分别为
、
的中点，将
沿
折起，使
在平面
上的射影
恰为
的中点，得到图（2）．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积．

图（1） 图（2）

18．（ 12分）已知关于
的一元二次函数

(1)设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个

数作为
和
，求函数
在区间[
上是增函数的概率；

(2)设点(
，
)是区域
内的随机点，求函数
上是增函数的概率.

19. （13分）设

，令
，
，又
，
．

（Ⅰ）判断数列
是等差数列还是等比数列并证明；（Ⅱ）求数列
的通项公式；

（Ⅲ）求数列
的前
项和．

20．(13分)设椭圆C：
的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且

⑴求椭圆C的离心率；

⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线

l：
相切，求椭圆C的方程.

21．（ 13分）设定义在
上的函数
，函数
，当
时，
取得极大值
，且函数
的图象关于点
对称．

（1）求函数
的表达式；（2）求证：当
时，
（
为自然对数的底数）；

（3）若
（
），数列
中是否存在
？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由．

参考答案及评分说明

一．选择题：

解析：

1： M，P表示元素分别为直线和圆的两个集合，它们没有公共元素。故选A。

2：因
，取α=－
代入sinα>tanα>cotα，满足条件式，则排除A、C、D，故选B。

3：构造特殊函数f(x)=
x，虽然满足题设条件，并易知f(x)在区间[－7，－3]上是增函数，且最大值为f(-3)=-5，故选C。

4：题中
可写成
。联想数学模型：过两点的直线的斜率公式k=
，可将问题看成圆(x－2)2+y2=3上的点与坐标原点O连线的斜率的最大值，即得D。

5：在第二象限角内通过余弦函数线cosα>cosβ找出α、β的终边位置关系，再作出判断，得B。

6：取满足题意的特殊数列
，则
，故选C。

7：二项式中含有
，似乎增加了计算量和难度，但如果设
，
，则待求式子
。故选A。

8：去掉题中的修饰语，本题的实质就是学生所熟悉的这样一个题目：三男三女站成一排，男女相间而站，问有多少种站法？因而易得本题答案为
。故选A。

9：考虑特殊位置PQ⊥OP时，
，所以
，故选C。

10：D

二．填空题：

解析：11：
，由复合函数的增减性可知，
在
上为增函数，∴
，∴
。

12：

13：由题设，此人猜中某一场的概率为
，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为
。

14、－1；

15．设双曲线
的右准线为
,过
分 别作
于
,
于
,

,由直线AB的斜率为
,知直线AB的倾斜角为

,

由双曲线的第二定义有

.

又

三．解答题：

16.解：（Ⅰ）∵

∴
∴

-----------------2分

若
则
得
----------------------------4分

∵

∴
或

∴
-------------------------------------------------6分

（Ⅱ）∵

＝

----------------------------------9分

∴函数的最小正周期为T=π-----------------------------------------10分

由
得

∴
的单调增区间
.----------------12分

17．（Ⅰ）证法一：在
中，
是等腰直角
的中位线，

……………………………1分

在四棱锥
中，
，
， ……………2分

平面
， ……5分

又
平面
,
…………7分

证法二：同证法一
…………2分

……………………4分

平面
， ………5分

又
平面
,
……………………7分

（Ⅱ）在直角梯形
中，

,
……8分

又
垂直平分
，
……10分

三棱锥
的体积为：

………12分

18．(1)∵函数
的图象的对称轴为

要使
在区间
上为增函数，

当且仅当
>0且
.若
=1则
=－1，若
=2则
=－1，1

若
=3则
=－1，1;

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5, ∴所求事件的概率为
.

(2)依题意:
且
>0时, 函数
上为增函数，

所求事件的概率为
.

19．解：(Ⅰ) 由
得:
,……（2分）

变形得:
即:
, ………（４分）

数列
是首项为1,公差为
的等差数列. ………（5分）

(Ⅱ) 由(1)得:
, ………（7分）

,

………（9分）

（Ⅲ）由(1)知:
………(11分）

………（13分）

20．解：⑴设Q（x0，0），由F（-c，0）

A（0，b）知

…2分

设
，得
………2分

因为点P在椭圆上，所以
………2分

整理得2b2=3ac，即2(a2－c2)=3ac，
,故椭圆的离心率e=
………2分

⑵由⑴知
，

于是F（－
a，0）， Q

△AQF的外接圆圆心为（
a，0），半径r=
|FQ|=a…………2分

所以
，解得a=2，∴c=1，b=
，

所求椭圆方程为
………

21．解：（1）将函数
的图象向右平移一个单位，得到函数
的图象，

函数
的图象关于点（0，0）对称，即函数
是奇函数，

…………… 2分

由题意得：

所以
，经检验满足题意． …………… 4分

（2）证明：由（1）知
，
当
时，不等式
即为：

构造函数
（
），则
，

所以函数
在
上是减函数，因而
时，
，

即：
时，
成立，用
代换
得：
时，
成立

所以当
时，
成立 …………… 8分

（3）解：
，则由（2）知：

令
，得：
，结合
得：

因此，当
时，有
，

所以当
时，
，即：
，

又通过比较
、
、
、
的大小知：
， …………… 12分

因为
，且
时
，所以若数列
中存在相等的两项，只能是
、
与后面的项可能相等，

又
，
，所以数列
中存在唯一相等的两项，

即：
． …………… 13分