银川二中2012—2013第二学期高三月考试题（六）

理科数学 2013.3.8

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）—（24）题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答案题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，只收回答题卡和答题纸。

注意事项：

1、答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案的标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写无效。

4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5、做选者考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每題给出的四个选中，只有一项是符合题目要求）

（1）设复数
且
，则复数的虚部为

A.
B.
C.
D.

（2）已知集合
,
。若
，则的取值范围是

A.
B.
C.
D.

（3）
且
是
的

A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

（4）如图为一个几何体的三视图，

则该几何体的外接球的表面积为

A.
B.

C.
D.

（5）已知向量
，向量
满足
，
，则
的值为

A.
B.
C. D.

（6）设等差数列
的前项和为
，若
，则
=

A.
B.
C. D.

（7）直线
的倾斜角的范围是

A.
B.
C.
D.

（8）设两个正数满足
，则
的最小值为

A.
B.
C.
D.

(9)函数
的图象是

(10)正方形
的边长为，中心为
，球
与正方形
所在平面相切于
点，过点
的球的直径的另一端点为
，线段
与球
的球面的交点为，且恰为线段
的中点，则球
的体积为

A.
B.
C.
D.

（11）己知关于的函数
，若点
是区域
内任意一点，则函数
在上有零点的概率为

A.
B.
C.
D.

（12）己知函数
，
，构造函数
，定义如下：当
，
；当
时，
，那么

A.有最大值，无最小值 B.有最小值，无最大值

C.有最小值，无最大值 D.无最小值，也无最大值

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横钱上）

（13）二项式
的展开式中常数项是第＿＿＿＿项。

（14）阅读程序框图（如图所示），回答问题：若
，
，
，则输出的数是＿＿＿＿。

（15）如图，
为双曲线
的焦点，
为双曲线的顶点，以
为直径的圆交双曲线的一条渐近线于
两点，且满足
，则该双曲线的离心率为＿＿＿＿。

（16）有如下四个命题：

①命题“有的三角形是直角三角形”的否定为“所有的三角形都不是直角三角形”;

②不等式
在上有解，则实数的取值范围是
;

③己知函数
,且对
,
,则
;

④若偶函数
在
内单调递增,则
.

其中真命题的序号为＿＿＿＿＿＿＿＿.

三、解答题（本大题共6题，共70分，解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）

（17）. （本小题满分12分）

设数列
的前项和为
，且
；数列
为等差数列，且
，
。

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
为数列
的前项和，求
。

(18). （本小题满分12分）

如图,在四棱锥
中,
底面
,

是直角梯形,
,
∥
,

,是
中点.

(1)求证:平面
平面
;

(2)若二面角
的余弦值为
,

求直线
与平面
所成角的正弦值.

(19). （本小题满分12分）

某地区组织群众性登山健身活动，

招募了
名师生志愿者，将所有志愿者

现按年龄情况分为
，
，

，
，
，

六个层次，其频率分布直方图如图所示：

已知
之间的志愿者共
人。

（1）求
和
之间的志愿者人数
；

（2）已知
和
之间各有名英语教师，现从这两层次各选取人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人选中都至少有名英语教师的概率是多少？

（3）组织者从
之间的志愿者（其中共有名女教师，其余全为男教师）中随机选取
名担任后勤保障工作，其中女教师的数量为X,求X的分布列和数学期望.

(20). （本小题满分12分）

已知椭圆
的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.

(1)求椭圆
的方程;

(2)已知点
是椭圆
上关于轴对称的任意两个不同点,连接
交椭圆
于另一点,直线
与轴相交于点
,过点
的直线与椭圆
交于
两点,求
的取值范围.

（21）（本小题满分12分）

已知函数
，其中

当
时，求函数
在点
处的切线方程；

讨论
的单调性；

当
时，求函数
在
上的最大值和最小值。

（参考数据：
）

请考生在第(22)、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

（22）．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图,
是圆
的直径,
是

半径
的中点,是
延长线上一点,

且
,直线
与圆
相交于点

(不与
重合),
与圆
相切

于点
,连接
.

(1)求证
;

(2)若
,试求
的大小

（23）．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在极坐标系中,曲线
,过点
(为锐角且
)作平行于
的直线
,且
与曲线分别交于
两点.

(1)以极点为原点,极轴为轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角坐标系,写出直线
和曲线的普通方程.

(2)求
的长.

（24）．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲

已知
,求
的最大值.

银川二中2012—2013高三月考六理科数学试题答案

1.D 2.C 3.C 4.C 5.B 6.A 7.C

8.C 9.A 10.B 11.C 12.C

13.9 14.
15.
16. ①②③

(17). 解（1）由
，令
，则
，又
。所以
。

当
时，由
，可得
，即
。

所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，于是
。

（2）数列
为等差数列，公差
，可得
。

从而
。

则

所以

故
。

（18）。证明：（1）
平面
,
平面
,

在直角梯形
中,
,
,

又
,
平面
,

平面
,平面
平面
.

(2)以
为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

则
,设

则
,

依题意知
平面
,则
为平面
的一个法向量,

设
为平面的一个法向量,则

即
,令
,则

所以
,则

于是
.

设直线
与平面
所成角为
,则
,

即直线
与平面
所成角的正弦值为
.

(19).解(1) 设频率分布直方图中6个层次的频率分别为

，

由
，

则

所以，
之间的志愿者人数
.

(2)

之间有
（人），

设从
之间取2人担任接待工作，其中至少1名英语教师的事件为；从