2013年高中毕业班第一次模拟考试

数学理科答案

一、选择题

A卷答案

1-5 DCBCC 6-10 ADADD 11-12 AD

B卷答案

1-5 DBCBB 6-10 ADADD 11-12 AD

二、填空题

13 .
或
14 .

15 . 24 16 .

三、解答题:(阅卷老师,可根据学生的答题情况,酌情给分)

17.解：第一步：在
中，利用正弦定理，
，

解得
；……………4分

第二步：在
中，同理可得
；……………8分

第三步：在
中，利用余弦定理，

…………12分 （代入角的测量值即可，不要求整理，但如果学生没有代入，扣2分）

18．解：（Ⅰ）由男生上网时间频数分布表可知100名男生中，上网时间少于60分钟的有60人，不少于60分钟的有40人，………………2分

故从其中任选3人，恰有1人上网的时间少于60分钟的概率为

……………4分

………………6分

（Ⅱ）

上网时间少于60分

上网时间不少于60分

合计



男生

60

40

100



女生

70

30

100



合计

130

70

200



……………8分

，………………10分

∵

∴没有90％的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.………………12分

19. 解：（Ⅰ）依题意
，
，
，所以
，……2分

而
面
，
，又
，∴
面
，

又
面
，∴平面
平面
…………4分

（Ⅱ）

过
作
的垂线为
轴，
为
轴，
为
轴，建立如图所示坐标系，则
，
，
,设
，

所以
，
，

由
，得

解得
，
.………………6分

∴P点的坐标为
；

面
的一个法向量为
，……………8分

设面
的一个法向量为
，
，

即
，∴
………………10分

，

所以二面角
的余弦值为
．……………12分

20. 解：（Ⅰ）由椭圆的定义知
，又
，∴
，即
为边
上的中线，

∴
,……………………2分

在
中，
则
，

∴椭圆的离心率
．…………………4分（注：若学生只写椭圆的离心率
，没有过程扣3分）

（Ⅱ）设
，
因为
，
，所以
…………6分

①当直线
轴垂直时，
，
，
,

=
， 因为
，所以
，

恒为钝角，

.………………………8分

②当直线
不与
轴垂直时，设直线
的方程为：
，代入
，

整理得：
，

，

………………10分

令
， 由 ①可知
，

恒为钝角.，所以恒有
．………………12分

21. 解：（Ⅰ）
在区间
上恒成立，

即
区间
上恒成立， …………………1分

.………………3分

经检验， 当a＝- 4时，
，
时，
，

所以满足题意的a的取值范围为
.………………4分

（Ⅱ）函数的定义域
，
，依题意方程
在区间
有两个不等的实根，记
，则有
，

得
.……………………6分

，
，
，

，令

……………………8分

，
，
,

因为
，存在
，使得
，











-

0

+





，
，
，所以函数
在
为减函数，

…………………10分

即
……………………12分

法二:6分段后面还有如下证法，可以参照酌情给分.

【证法2】
为方程
的解，所以
,

∵
，
，
，∴
,

先证
，即证
（
）,

在区间
内，
，
内
，所以
为极小值，
,

即
，∴
成立；…………………8分

再证
，即证
,

,

令
，
…………………10分

,

,

，
，
,

∴
，
在
为增函数．

．

综上可得
成立．………………………12分

22.证明:（Ⅰ）∵∠BAD＝∠BMF，

所以A,Q,M,B四点共圆，……………3分

所以
.………………5分

(Ⅱ)∵
,

∴
，

又
, 所以
，……………7分

∴
,则
,………………8分

∵
，

∴
,

,

所以
.…………………10分

23.解：(Ⅰ)依题意
………………3分

得：

曲线
直角坐标方程为：
.…………………5分

(Ⅱ)把
代入
整理得：

………………7分

总成立，

，

………………10分

另解：

(Ⅱ)直线
的直角坐标方程为
，把
代入
得：

………………7分

总成立，
，

…………………10分

24. 解：(Ⅰ)
解得

解得

解得
…………………3分

不等式的解集为
………………5分

(Ⅱ)

；

；

；

的最小值为
；………………8分

则
，解得
或
.………………10分