河南省郑州市2013年高中毕业年级第二次质量预测

理科数学试题卷

本试卷分第I卷(选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.

第I卷

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合 题目要求.

1. 复数z1=3+i，z2 =1-i则z=
的共轭复数在复平面内的对应点位于

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2. 若
-，
，则角θ的终边所在的直线为

A. 7x+24y=0 B. 7x-24y=0

C. 24x+7y=0 D.24x-7y=0

3_在数列{an}中，an+1=can(c;为非零常数），前n项和为Sn= 3n+k,则实数k为

A.-1 B.0 C.1 D.2

4. 设a,β分别为两个不同的平面，直线l
a，则“l丄β”是“a丄β成立的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 若
，则a，b，c的大小关系为

A. c>b>a B. b>c>a C. a>b>c D. b>a>c

6. 已知函数f(x)的导函数为
,且满足
,则
=

A. 1 B. —1 C. –e-1 D. —e

7. 一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是

8. 在二项式
的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的

项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为

A.
B.
C.
D.

9. 如图所示,F1 F2是双曲线
（a>0,b>0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支 的两个交点分别为A，B,且ΔF2AB是等边三角形，则双曲线的 离心率为

A.
B.

C.
D.

10. 函数f(x)=axm(1-x)2在区间[0，1]上的图象 如图所示，则m的值可能是

A. 1 B. 2

C. 3 D.4

11. 设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的工都有f(2—x)+f(x)=0恒成立.如果实数m、n满足不等式组
’则m2+n2的取值范围是

A. (3,7) B. (9,25) C. (13,49) D. (9,49)

12. 已知函数
，则方程
所有根的和为

A. 0 B.
C .
D.

第II卷

本卷包括必考題和选考題两部分.第13题?第21題为必考题，第22题?24题为选考 題.考生根据要求作答.

二、填空題:本大题共4小题，每小题5分.

13.等差数列{an}的前7项和等于前2项和，若a1=1,ak+a4=0，则k=______.

14. 已知O为坐标原点，点M(3,2),若N(x,y)满足不等式组
则
的最大值为______.

15.已知不等式
，若对任意x∈[l,2],且y∈[2,3],该不等式恒成立,则 实数a的取值范围是______.

16.过点M(2，-2p)作抛物线x2=2py(p>0)的两条切线，切点分别为A，B,若线段AB的中 点纵坐标为6,则p的值是______.

三、解答题:解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分）

如图所示,一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50 公里/小时的速度勻速行驶（图中的箭头方向为汽车行驶方 向），汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公 里，距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个 人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车 的人至少以多大的速度勻速行驶才能实现他的愿望，此时 他驾驶摩托车行驶了多少公里？

18. (本小题满分12分）

每年的三月十二日，是中国的植树节.林管部门在植树前，为 保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两批 树苗中各抽测了 10株树苗的高度，规定高于128厘米的为“良种 树苗”,测得高度如下(单位:厘米）

甲：137，121,131，120,129，119,132，123,125,133

乙：110,130,147,127,146,114，126,110,144，146

(I)根据抽测结果，完成答题卷中的茎叶图，并根据你填写 的茎叶图，对甲、乙两批树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度 的统计结论；

(II)设抽测的10株甲种树苗髙度平均值为
将这10株树 苗的高度依次输人按程序框图进行运算，（如图）问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义；

(III)若小王在甲批树苗中随机领取了 5株进行种植，用样本的频率分布估计总体分布， 求小王领取到的“良种树苗”株数x的分布列.

19. (本小题满分12分）

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，

(I)当λ=
时,求证AB1丄平面A1BD;

(II)当二面角A—A1D—B的大小为
-时,求实数λ的值.

20. (本小题满分12分）

已知椭圆C:
的右焦点为F，左顶点为A，点P为曲线D上的动点，以PF为直径的圆恒与y轴相切.

(I)求曲线D的方程；

(II)设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的ΔAPM?①点M在椭圆C上;②点O为ΔAPM的重心.若存在，求出点P的坐标；若不存在,说明理由.（若三角形 ABC的三点坐标为A(x1，y1),B(x2,y2),C(x3，y3)，则其重心G的坐标为
，
))

21. (本小题满分12分）

已知函数f(x)=lnx与g(x)=kx+b(k,b∈R)的图象交于P，Q两点，曲线y=f(x)在P，Q两点处的切线交于点A.

(I)当k = e，b=-3时,求f(x) — g(x)的最大值(e为自然常数）

(II)若
|，求实数k，b的值.

选做题(本小题满分10分，请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用铅笔在对应 方框中涂黑）

22.选修4—1:几何证明选讲

如图，已知
0和
M相交于A、B两点，AD为
M的直径，直线BD交
O于点C,点G为弧BD中点，连结 AG分别交
0、BD于点E、F，连结CE.

(I）求证:AG·EF=CE·GD；

(II)求证：

23. 选修4一4:坐标系与参数方程

已知直线C1:
’（t为参数），曲线C2:
(θ为参数).

(I)当a=
时,求C1与C2的交点坐标；

(II)过坐标原点0作C1的垂线,垂足为A,P为OA中点，当a变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.

24. 选修4一5:不等式选讲

已知函数f(x)=|x—a|

(I)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；

(II)在（I)的条件下,若f(x)+f(x + 5)
m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.

2013年高中毕业年级第二次质量预测

数学（理科） 参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

DDAA BCCD BACC

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．6；14．12；15．
；16．1或2．

三、解答题

17．解:作
垂直公路所在直线于点
,则
,

――――2分

设骑摩托车的人的速度为
公里/小时,追上汽车的时间为
小时

由余弦定理:
――――6分

-――――8分

当
时,
的最小值为
,
其行驶距离为
公里――――11分

故骑摩托车的人至少以
公里/时的速度行驶才能实现他的愿望, 他驾驶摩托车行驶了
公里. ――――12分

18．解: （Ⅰ）茎叶图略. ―――2分

统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度;

②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;

③甲种树苗的中位数为
，乙种树苗的中位数为
;

④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，

乙种树苗的高度分布较为分散. ―――4分（每写出一个统计结论得1分）

（Ⅱ）
――――6分

表示
株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量.

值越小，表示长得越整齐，
值越大，表示长得越参差不齐．――――8分

（Ⅲ）由题意，领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为
，则
―――10分

所以随机变量
的分布列为

0

1

2

3

4

5



















 ――――12分

19.解：（Ⅰ）取
的中点为
，连结

在正三棱柱
中面
面
，

为正三角形，所以
，

故
平面
．

以
为坐标原点建立如图空间直角坐标系
，――――2分

则
，
，
，
，
．

所以
，
，
，

因为
，

所以
，又
，

所以
平面
． ――――－6分

（Ⅱ）由⑴得
，所以
，
，
，

设平面
的法向量
，平面
的法向量
，

由
得平面
的一个法向量为
，

同理可得平面
的一个法向量
，

由
，解得
，为所求．――――12分

20．解：（Ⅰ）设
，由题知
，所以以
为直径的圆的圆心
，

则
，

整理得
，为所求． ――――4分

（Ⅱ）不存在，理由如下： ――――5分

若这样的三角形存在，由题可设
，由条件①知
，

由条件②得
，又因为点
，

所以
即
，故
，――――9分

解之得
或
（舍），

当
时，解得
不合题意，

所以同时满足两个条件的三角形不存在． ――――12分

21、解：（Ⅰ）设
，

则
， ――――1分

当
时，
，此时函数
为增函数；

当
时，
，此时函数
为减函数．

所以
，为所求． ――――4分

（Ⅱ）设过点
的直线
与函数
切于点
，则其斜率
，

故切线
，

将点
代入直线
方程得：

，即
，――――7分

设
，则
，

当
时，
，函数
为增函数；

当
时，
，函数
为减函数．

故方程
至多有两个实根， ――――10分

又
，所以方程
的两个实根为
和
，

故
，所以
为所求．――――12分

22．证明：（Ⅰ）连结AB、AC，∵AD为⊙M的直径，

∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径，

∴∠CEF＝∠AGD=90°. ――――2分

∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GAB=∠ECF. ――――4分

∴△CEF∽△AGD ∴
， ∴AG·EF = CE·GD ――――6分

（Ⅱ）由⑴知∠DAG=∠GAB=∠FDG，∠G=∠G，

∴△DFG∽△AGD， ∴DG2=AG·GF. ――――8分

由⑴知
，∴
――――10分

23．解：（Ⅰ）当
时，C1的普通方程为
，C2的普通方程为
，

联立方程组
，解得C1与C2的交点坐标为（1，0），
．――――5分

（Ⅱ）C1的普通方程为
，A点坐标为
，

故当
变化时，P点轨迹的参数方程为
（
为参数）

P点轨迹的普通方程为
．

故P点轨迹是圆心为
，半径为
的圆．――――10

24．解：（Ⅰ）由
得
，解得
．

又已知不等式
的解集为
，所以
，解得
.――――4分

（Ⅱ）当
时，
，设
，

于是
　　　　　　　　　　　　　――――6分

所以当
时，
； 当
时，
； 当
时，
．

综上可得，
的最小值为5．――――9分

从而若
，即
对一切实数
恒成立，

则
的取值范围为（-∞，5]．――――10分

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