高中2013级第三学期末教学质量测试

数学（理科）试题参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．

1~5 AADCD 6~10 BCCCB

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．

11．(2，1，3) 12．18 13．180 14．
15．①②④

三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解：（1）由
解得

即交点坐标为(1，6)． …………………………………………………………………2分

∵ 直线l1：x+y-6＝0的斜率为k1=-1，

∴ 直线l的斜率为k=-1，

∴ 直线l的方程为y-6=-(x-1)，即x+y-7=0．………………………………………5分

（2）由题知，
， ……………………………………………8分

整理得|a-6|=1，

解得a=7，或a=5． …………………………………………………………………10分

17．解：（1）补全的茎叶图如右．

甲队

　

乙队



9

3

0 4 0



9 5 3 1 0

4

7 6



 7 3 2 1

5

0





6

7 6 4 6



 ……………………………………………………………3分

乙队的中位数为(47+50)÷2=48.5分． ………………………………………………4分

（2）甲队中得分不小于50分的有4场，乙队中得分不小于50分的有5场，

∴ 各从中抽取一场进行比较，共有20种情况．……………………………………7分

其中，甲的得分大于乙的得分仅有取到乙的得分为50的情况，共4种情况．

∴ 所求的概率为
． …………………………………………………………10分

18．解：（1）圆C的方程可化为(x+1)2+y2=4，即圆心为(-1，0)，半径为r=2.

若过点P的直线斜率不存在，即x=1，与圆C相切，满足条件；………………1分

若过点P的切线斜率存在，设为k，

则切线的方程为y-3=k(x-1)，即kx-y-k+3=0，

∴
，解得k=
.

∴ 切线方程为5x-12y+31=0．

综上，所求的切线方程为x=1或5x-12y+31=0．……………………………………4分

（2）假设存在直线l，设方程为y=x+b，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由OA⊥OB有
，即x1x2+y1y2=0．

联立
消去y整理得2x2+(2b+2)x+b2-3=0，

∴
，得
，

x1+x2=-b-1，x1x2=
，……………………………………………………………7分

∴ y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2=
+ b(-b-1)+b2=
，

∴
+
=0，

整理得b2-b-3=0，解得b=
，或b=
，

经检验，b值可取

存在所求直线l，l的方程为y=x+
．………………………………………10分

19．解：（1）由题意有a2-b2=1，且
，

解得a2=2，b2=1，

∴ 椭圆C的方程为
．……………………………………………………2分

（2）设M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
，

当x1=x2时，M点的坐标为(-1，0)．

当x1≠x2时，

∵
，
，

两式相减得
，

∴
．

又AB过F点，于是AB的斜率为
，

∴
=
，

整理得x2+2y2+x=0．

∵ (-1，0)也满足上式，

∴ M的轨迹方程为x2+2y2+x=0．……………………………………………………6分

（3）设P(m，0)，AB的中点M(a，b)，

由（2）知，a2+2b2+a=0. ①

∵ |PA|=|PB|，

∴ PM⊥AB．

∴ kAB·kMP=-1，即
，

整理得b2=-a2-a+am+m，②

将②代入①中，得a2+a-2am-2m=0，

化为 (a+1)(a-2m)=0，

∵ a≠-1，

∴ m=
．

由2b2=-a2-a>0(当b=0时，AB与x轴垂直，不合题意，舍去)，得-1

于是