高中2013级第三学期末教学质量测试

数学（文科）试题参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．

1~5 BADCA 6~10 DCBAB

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．

11．(2，1，3) 12．12 13．18 14．
15．

三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解：（1）由
解得

即交点坐标为(1，6)． …………………………………………………………………2分

∵ 直线l1：x+y-6＝0的斜率为k1=-1，

∴ 直线l的斜率为k=-1，

∴ 直线l的方程为y-6=-(x-1)，即x+y-7=0．………………………………………5分

（2）由题知，
， ……………………………………………8分

整理得|a-6|=1，

解得a=7，或a=5． …………………………………………………………………10分

17．解：（1）补全的茎叶图如下．

甲队

　

乙队



9

3

0 4 0



9 5 3 1 0

4

7 6



 7 3 2 1

5

0





6

7 6 4 6



 ……………………………………………………………3分

乙队的中位数为(47+50)÷2=48.5分． ………………………………………………4分

（2）甲队中得分不小于50分的有4场，乙队中得分不小于50分的有5场，

∴ 各从中抽取一场进行比较，共有20种情况．……………………………………7分

其中，甲的得分大于乙的得分仅有取到乙的得分为50的情况，共4种情况．

∴ 所求的概率为
． …………………………………………………………10分

18．解：（1）设双曲线的方程为
(a>0)．

则2a=4，解得a=2，

∴ 双曲线的方程为
，渐近线方程为y=±x．……………………………3分

（2）设椭圆的标准方程为
(a>b>0)，

由（1）知F(
，0)，于是a=
．………………………………………………4分

设A(x0，y0)，则x0=y0．①

∵ AB⊥AF，且AB的斜率为1，

∴ AF的斜率为-1，故
．②

由①②解得A(
，
)．……………………………………………………………7分

代入椭圆方程有
，解得b2=
，

∴ c2=a2-b2=8-
=
，得c=
，…………………………………………………9分

∴ 椭圆E的离心率为e=
=
．…………………………………………10分

19．解：（1）设M(x，y)，A(x0，y0)，则
，
，

∴ x0=2x-4，y0=2y+3，

∵ A点在圆(x+4)2+(y-3)2=4上运动，

∴ (2x-4+4)2+(2y+3-3)2=4，

化简得 x2+y2=1．

即轨迹E的方程为x2+y2=1．…………………………………………………………4分

（2）由（1）知G(1，0)，H(-1，0)，F(0，1)，

∴ FH的方程为x-y+1=0．

当l的斜率不存在时，GD//FH，与题意不合．

设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，易得P(
，0)．………………………6分

由
消去y，整理得(1+k2)x2+2kx=0，

解得x=0，或x=
．

∴ D的纵坐标为y=
=
．………8分

∴ GD的方程为y=
，整理得y=
．

联立
解得

即Q(-k，k+1)．

∴
=1(定值)．………………………………………………10分