（时间120分，满分140分）

一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确）

1．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．下列说法中正确的是（ ）

A．命题“
，使得
”的否定是“
，均有
”；

B．命题“若
，则x=y”的逆否命题是真命题：

C．命题“若x=3，则
”的否命题是“若
，则
”；

D．命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题．

3．若a、b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)．

A. a2＋b2＞2ab B. a＋b≥2
C.
D.

4．设等差数列
的前项和为
，若
，则
的值是（ ）

A．
B.
C.
D.

5．设数列{an}的前n项和为Sn，点（n，
）（n∈N*）均在函数y＝
x＋
的图象上，则a2014＝（ ）

A．2014 B．2013 C．1012 D．1011

6．△ABC 中，若a、b、c成等比数列，且c = 2a，则cos B等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知AB是抛物线
的一条过焦点的弦，且|AB|=4,则AB中点C的横坐标是 ( )

A.2 B.
C.
D.

8．已知双曲线
＝1的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N是线段MF2的中点，O是坐标原点，则|ON|等于(　　)

A．4 B．2 C．1 D．

9．设椭圆C：
＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)．

A.
B.
C.
D.

10．当，满足
时，则
的最大值是（ ）

A.1 B.2 C.6 D.5

11．已知
是等差数列
的前项和，且
，有下列四个命题：①
；②
；③
；④数列
中的最大项为
，其中正确命题序号是（ ）

A．②③ B．①② C．①③ D．①④

12．如图，已知椭圆
，双曲线
(a＞0，b＞0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（ ）

A．5 B.
C.
D.

二、填空题（包括4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上）

13．已知命题p:“对任意的
”，命题q:“存在
”若命题“p且q”是真命题，则实数的取值范围是___________．

14.设
若
是
与
的等比中项，则
的最小值

15．已知
的三边分别为,
,，且＝1，＝45°，
＝2，则
的外接圆的面积为 ．

16．下列命题中，真命题的序号是 .

①
中，

②数列{
}的前n项和
，则数列{
}是等差数列.

③锐角三角形的三边长分别为3，4，，则的取值范围是
.

④等差数列{
}前n项和为
,已知
+
-
=0，
=38,则m=10.

三、解答题（包括6个题，17、18题各10分，19、20、21题12分，22题为附加题20分，共76分，请写必要的解答过程）

17．已知函数
．

（1）当
时，求函数
的定义域；

（2）若关于的不等式
的解集是，求的取值范围．

18．正项数列

19．己知四棱锥P-ABCD，其中底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，

M,N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示：

（1）求证： AN∥平面MBD；

（2）求锐二面角B-PC-A的余弦值．

20．已知,
,分别为
三个内角, ,
的对边, =
sin
cos．

(1)求角;

(2)若=
,
的面积为
,求
的周长．

21．设椭圆
：
的离心率
，右焦点到直线
的距离
，
为坐标原点

（1）求椭圆
的方程；

（2）若直线
斜率存在且与椭圆
交于
两点，以
为直径的圆过原点
，求
到直线
的距离

22．（附加题）如图，椭圆

的左焦点为，过点的直线交椭圆于
两点.
的最大值是
，
的最小值是，满足
.

(1) 求该椭圆的离心率；

(2) 设线段
的中点为
，
的垂直平分线与轴和轴分别交于
两点，
是坐标原点.记
的面积为
，
的面积为
，求
的取值范围.

延边第二中学2014——2015学年度第一学期期末考试高二 数 学 (理)试 卷参考答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



A

C

D

C

A

B

c

A

D

D

B

c





（2）不等式
即
，

时，恒有
，

不等式
解集是R，

的取值范围是
————————10分

18．（1）
（2）

(1)

————————————————————————————4分

(2)
————————————————————————————10分

19．（1）详见解析；（2）

试题解析：（1）证明：连结AC交BD于O，连结OM，

∵底面ABCD为矩形，∴O为AC中点，∵M、N为侧棱PC的三等份点，∴CM=CN，

∴OM//AN， ∵OM平面MBD，AN平面MBD，∴AN//平面MBD 4分．

（2）易知
为等腰直角三角形,所以BP为外接圆的直径,所以PB=
,PA=3

如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，

则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,6,0)，D(0,6,0)，P(0,0,3)，M(2,4,1)，N(1,2,2),

设平面
的法向量为
,
，并且
,

，令
得
,

∴平面MBD的一个法向量为
,

设平面
法向量为
,

同理可得

由图可知,二面角
为锐角,

∴二面角
的余弦值为
————————————12分

20．(1)
；(2)

解(1)由=
sin
cos及正弦定理得

sinsin
+cossin
-sin
=0,

由
,所以
,

又0<<π,
+

故=
． ——————-- 4分

(2)△ABC的面积
,故
．

由余弦定理知2=
2+2-2
cos,得

代入=
,
=4解得
,故三角形周长为
．(解出
,的值亦可) ——————-――12分

21．（1）
，（2）

试题解析：（1）
，右焦点
到直线
的距离
，则
，且
，所以
，

所以椭圆
的的方程是：
——————————4分

（2）设直线
：
，那么：
，

则
，

又因为直线
与椭圆
交于
两点，以
为直径的圆过原点
，

，

，化简得
，即
，所以
到直线
的距离为
. ————-12分

22．（1）
；（2）
.

试题解析：(1) 设
，则根据椭圆性质得

而
，所以有
，即
，
，因此椭圆的离心率为
. （3分）

(2) 由(1)可知
，
，椭圆的方程为
.

根据条件直线
的斜率一定存在且不为零，设直线
的方程为
，

并设
则由
消去并整理得

从而有
，

所以
.

因为
，所以
，
.

由
与
相似，所以

.