（时间：120分钟 总分：150分，交答题纸）

第Ⅰ卷（12题：共60分）

选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）

1.要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、200户中等收入家庭、95户低收入

家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；② 从某中学的5名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的方法依次为 （ ）

A．①简单随机抽样调查，②系统抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样

C．①系统抽样，②分层抽样 D．①② 都用分层抽样

2.“
”是“
”的 （ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.命题“所有能被整除的整数都是偶数”的否定是 （ ）

A.所有不能被整除的整数都是偶数 B.所有能被整除的整数都不是偶数

C.存在一个不能被整除的整数是偶数 D.存在一个能被整除的整数不是偶数

4.过点
作直线，使它与抛物线
仅有一个公共点，

这样的直线共有 ( )

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

5.如果执行下面的程序框图，输出的
，则判断框中

为 （ ）

A.
B.
C.
D.

6.与向量
共线的单位向量是 （ ）

A.
B.
和

C.
D.
和

7.已知双曲线
的一条渐近线方程为
，则双曲线
的焦距为 （ ）

A.
B.
C.
D.

8.下列各数中最小的一个是 （ ）

A.
B.
C.
D.

9.一个盒子里有
支好晶体管，支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知

第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为 ( )

A.
　 　B.
　 　C.
　 　　D.

10.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的

成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均

成绩的概率为 （ ）

A．
B.
C．
D．

11.平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为
，把一枚半径为
的硬币任意平掷

在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 （ ）

A.
B.
C.
D.

12．已知椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段
相

切于线段
的中点，则该椭圆的离心率为 （ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（10题：共90分）

二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分）

13.
的展开式中的
系数是 。

14. 要用四种颜色（可以不全用）给四川、青海、西藏、云南

四省（区）的地图上色，每一省（区）一种颜色，只要求相

邻的省（区）不同色，则上色方法有 。

15.将
五种不同的文件随机地放入编号依次为
的七个抽屉内，每个

抽屈至多放一种文件，则文件
被放在相邻的抽屉内且文件
被放在不相邻的抽屉内的

概率是 。

16. ①命题“
”的否定是“
”；②已知
为两个命题，若

“
”为假命题，则“
”为真命题；③“
”是“
”的充分不必要条件；

④“若
，则
且
”的逆否命题为真命题。

其中所有真命题的序号为 。

三、解答题（包括6小题，共70分）

17.（本题10分）

某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：

零件的个数(个)

2

3

4

5



加工的时间(小时)

2.5

3

4

4.5





(1)求出关于的线性回归方程
，并在坐标系中画出回归直线；

(2)试预测加工
个零件需要多少小时？

(注：
，
)

18.（本题12分）

某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在
米(精确到
米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成
组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右

前
个小组的频率分别为

。第
小组的频数是
。

(1) 求这次铅球测试成绩合格的人数；

(2) 若由直方图来估计这组数据的中位数，

指出它在第几组内，并说明理由；

(3) 若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知、
的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率。

19.（本题12分）

顶点在原点，焦点在轴上的抛物线，被直线
截得的弦长为
，求抛物线方程。

20.（本题12分）

已知矩形
与正三角形
所在的平面互相垂直，

分别为棱
的中点，
。

(1)证明：直线
平面
；

(2)求二面角
的余弦值。

21.（本题12分）

某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有
四个问题，规则如下：

每位参加者记分器的初始分均为
分，答对问题
分别加分、分、
分、
分，答错任一题减分；

每回答一题，记分器显示累计分数，当累计分数小于
分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于
分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足
分时，答题结束，淘汰出局；

每位参加者按问题
顺序作答，直至答题结束。

假设甲同学对问题
回答正确的概率依次为
、
、
、
，且各题回答正确与否相互之间没有影响。

（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；

（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列。

22.（本题12分）

设
分别是直线
和
上的两个动点，并且
，动点满足

，记动点的轨迹为
。

（1）求曲线
的方程；

（2）若点的坐标为
，
是曲线
上的两个动点，并且
，求实数
的取值范围；

（3）
是曲线
上的任意两点，并且直线
不与轴垂直，线段
的中垂线
交轴于点
，求
的取值范围。

高二（理科）数学试题答案

一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

A

D

C

C

D

A

B

C

D

B

A



填空题（包括4小题，每小题5分，共20分）

13.
； 14.
； 15.
=
； 16. 2。

解答题

17. (1)由表中数据得：
，
，

∴
，
，∴
。 回归直线如图所示：

(2)将
代入回归直线方程，得
(小时)．

19. 设抛物线方程为
，弦的两个端点分别为

由
得：

。

得：
。

得
或
。故抛物线方程为
或
。

20. 以N为坐标原点，NE，ND所在直线分别为x,y轴，建立空间右手直角坐标系，所以A(0，-1， 0)，

B(0，-1，1)，D(0，1，0)，N(0，0，0)，E(
，0，0)，C(0，1，1)，M(
，-
，
).

(1)设平面NEC的一个法向量为
=(x,y,1)，因为
=(0，1，1)，
=(
，0，0)，

所以
=y+1=0，
=0；所以
=(0,-1,1)，因为
，
=0，

所以
，因为AM平面NEC，所以直线AM∥平面NEC.

则

（2）
的所有可能取值为：

，

的分布列为：





















22. （1）设：

，

又
，
，即所求曲线方程为

（2）设：
，则由
可得

故

在曲线
上，
消去，

则直线
为
由
在直线
上
②

由①②得
。