一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1.下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．其中正确命题的个数是(　　)

A．1　　　　　 B．2 C．3 D．4

2．空间4点A，B，C，D共面但不共线，下列结论中正确的是(　　)

A．4点中必能找出其中3点共线 B．4点中必能找出其中3点不共线

C．AB，BC，CD，DA中必有两条平行 D．AB与CD必相交

3．已知直线l⊥平面α，下列判断正确的是(　　)

①若m⊥l，则m∥α；②若m⊥α，则m∥l；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α.

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④

4．圆台上、下底面的面积之比为1：4，则截得这个圆台的圆锥体积和圆台体积之比是(　　)

A．2：1 B．4：1 C．8：1 D．8：7

5．正四棱锥的顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)

A．π B．16π C．9π D．π

6．已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是(　　)

A． cm3 B． cm3

C． cm3 D． cm3

7．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 (　　)

A. B. C. D.

8．已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝(　　)

A．2 B． C． D．1

9．如图所示，在正四棱锥S－ABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是图中的(　　)

10.顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，
，垂足为B，
，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)

11.同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率是，则至少一个5点或6点的概率是________．

12．如图所示，在边长为5＋的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是________与________．

13．对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的________倍．

14．某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为，则河宽为 .

15．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：

①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．

三、解答题(本大题共6个大题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，四边形ACC1A1是矩形，FC1∥BC，EF∥A1C1，∠BCC1＝90°，点A，B，E，A1在一个平面内，AB＝BC＝CC1＝2，AC＝2.

证明：(1)A1E∥AB.

(2)平面CC1FB⊥平面AA1EB.

17．（理科做）(本小题满分12分)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1(a≠0)，设集合P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到的数对(a，b)．

(1)列举出所有的数对(a，b)，并求函数y＝f(x)有零点的概率； (2)求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．

（文科做）(12分)某班数学兴趣小组有男生三名,分别记为
,女生两名，分别记为
,现从中任选2名学生去参加校数学竞赛.

（1）写出这种选法的样本空间；

（2）求参赛学生中恰有一名男生的概率；

（3）求参赛学生中至少有一名男生的概率.

18. (本小题满分12分)如图，
、
为圆柱
的母线，
是底面圆
的直径，、分别是
、
的中点，
．

（1）证明：
；

（2）（文科做）求四棱锥
与圆柱
的体积比；

（理科做）若
，求
与面
所成角的正弦值．

19．(本小题满分13分) 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，又PA⊥平面ABCD，PA＝4．

（1）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a与关系；

（2）在（1）的条件下求a的取值范围；

（3）（理科做，文科不做）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，

求二面角A－PD－Q的余弦值．

20. 三棱锥S-ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP．

证明：(1)DP与SM相交；

(2)设DP与SM的交点为
，则
为三棱锥S—ABC的外接球球心．

21. (本小题满分13分）已知几何体A—BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）求此几何体的体积V的大小;

（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ并说明理由.

屯溪一中2104-2015学年度第一学期期中考试高二年级

数学试题解答
三、解答题(本大题共6个大题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，四边形ACC1A1是矩形，FC1∥BC，EF∥A1C1，∠BCC1＝90°，点A，B，E，A1在一个平面内，AB＝BC＝CC1＝2，AC＝2.

证明：(1)A1E∥AB.

(2)平面CC1FB⊥平面AA1EB.

17．（理科做）(本小题满分12分)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1(a≠0)，设集合P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到的数对(a，b)．

(1)列举出所有的数对(a，b)，并求函数y＝f(x)有零点的概率；

(2)求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．

解　(1)( a，b)共有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，15种情况．

函数y＝f(x)有零点，Δ＝b2－4a≥0，

有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种情况

所以函数y＝f(x)有零点的概率为＝.

(2)函数y＝f(x)的对称轴为x＝，

在区间[1，＋∞)上是增函数，则有≤1，即b－2a≤0.

因此有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共13种情况满足条件，

所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为.

18. (本小题满分12分)如图，
、
为圆柱
的母线，
是底面圆
的直径，、分别是
、
的中点，
．

（1）证明：
；

（2）（文科做）求四棱锥
与圆柱
的体积比；

（理科做）若
，求
与面
所成角的正弦值．

答案及解析：

18.解：（1）证明：连结
，
.

分别为
的中点，

∴
.…………………………………2分

又
，且
.

∴四边形
是平行四边形，

即
. ………………3分

∴
. ………………………4分

19．(本小题满分13分) 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，又PA⊥平面ABCD，PA＝4．

（1）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a与关系；

（2）在（1）的条件下求a的取值范围；

（3）（理科做，文科不做）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值．

答案及解析：

解：（1）如图，连
，由于PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，必有
．

设
，则
，

在
中，有
．

在
中，有
． ……4分

在
中，有
．

即
，

即
．

（2）由（1）得
．

故的取值范围为
．

（3）由（Ⅰ）知，当
，
时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQ⊥QD．

过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD．　　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．　　过M作MN⊥PD于N，连结NQ，则QN⊥PD．　　∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角．

在等腰直角三角形
中，可求得
，又
，进而
．

∴
．

故二面角A－PD－Q的余弦值为
．

20.三棱锥S-ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP．

证明：(1)DP与SM相交；

(2)设DP与SM的交点为
，则
为三棱锥S—ABC的外接球球心．

17.解析：（1）由该几何体的三视图知
面
,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，

∴

∴
．

即该几何体的体积V为16． -----------3分

（2）过点B作BF//ED交EC于F，连结AF，

则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．-------5分

在△BAF中，∵AB=
，BF=AF=
．

∴

．

即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为
．