2016届高二数学第二次月考试卷（文科）

一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)

1．设a>2，A＝＋，B＝＋，则A、B的大小关系是(　　)

A．A>B B．A

2．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为(　　)．

A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B．[－3，－1]

C．[－3，－1]∪(0，＋∞) D．[－3，＋∞)

3．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)．

A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1

4.直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为(　　)

A．16 B. C．4 D.

5．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则的最小值为(　　)

A. B. C．2 D．1

6．设双曲线4x2－y2＝1的两条渐近线与直线x＝围成的三角形区域(包含边界)为D，P(x，y)为D内的一个动点，则目标函数z＝x－y的最小值为(　　)

A．－2 B．－ C．0 D．－

7．以椭圆两焦点为直径端点的圆交椭圆于不同的四点，顺次连接四个交点和两个焦点恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率为(　　)

A.－ B.－1 C. D.

8．当实数x，y满足不等式组时，恒有ax＋y≤3成立，则实数a的取值范围是

(　　)

A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．[0,2] D．(－∞，3]

9．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则
的最大值为(　　)

A．2 B．3 C．6 D．8

10.已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则(　　)

A．a2＝ B．a2＝13 C．b2＝ D．b2＝2

二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）

11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．

12．若点(3,1)是抛物线y2＝2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.

13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．

14．已知以y＝±x为渐近线的双曲线D：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线D右支上任意一点，则的取值范围是________．

15．已知A，B两点分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点，F是椭圆的右焦点，若·>0，则椭圆的离心率的取值范围为________．

2016届高二数学第二次月考试卷（文科）答题卡

一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）

11、 12、 13、 14、 15、

三、解答题

16．已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinαcos(α＋β)．

(1)当α＋β＝，求tanβ的值；

(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值．(12分)

17．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.

(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．（12分）

18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)设直线l是抛物线的准线，AB是抛物线过焦点的弦．求证：以AB为直径的圆与准线l相切．（12分）

19．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)

求双曲线E的方程．（12分）

20．设x>0，且x≠1，f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小．（13分）

21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M.

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足·＝
？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．（14分）

2016届高二数学第二次月考试卷（文科）答案

ACABA BBDCC

11. 　＋＝1 12. 2 13.  14. 　 15. 　

16.(1)∵由条件知，sinβ＝sin，

整理得sinβ－cosβ＝0，∵β为锐角，∴tanβ＝.

(2)由已知得sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，

∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ，

∴tanβ＝＝

＝＝≤＝.

当且仅当＝2tanα时，取“＝”号，

∴tanα＝时，tanβ取得最大值，

此时，tan(α＋β)＝＝.

17.将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.

(1)若直线l与圆C相切，则有＝2.解得a＝－.

(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，

得

解得a＝－7或a＝－1.

故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.

18.(1)设抛物线y2＝2px(p>0)，将点(2,2)代入得p＝1.

∴y2＝2x为所求抛物线的方程．

(2)证明：设lAB的方程为：x＝ty＋，代入y2＝2x得：y2－2ty－1＝0，设AB的中点为M(x0，y0)，则y0＝t，x0＝.

∴点M到准线l的距离d＝x0＋＝＋＝1＋t2.又AB＝2x0＋p＝1＋2t2＋1＝2＋2t2，∴d＝AB，故以AB为直径的圆与准线l相切．

19.设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，

由题意知c＝3，a2＋b2＝9，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：



两式作差得：

＝＝＝，

又AB的斜率是＝1，

所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得

a2＝4，b2＝5.

所以双曲线的标准方程是－＝1.

20. f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx3x－logx4＝logx.

(1)当logx>0，

即或

也就是x>，或0g(x)．

(2)当logx＝0，即＝1，也就是x＝时，f(x)＝g(x)．

(3)当logx<0，

即或

也就是1

综上，知当x>，或0g(x)；

当x＝时，f(x)＝g(x)；

当1

21.(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，

由题意得解得a2＝4，b2＝3.

故椭圆C的方程为＋＝1.

(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y＝k1(x－2)＋1，代入椭圆C的方程得，(3＋4k)x2－8k1(2k1－1)x＋16k－16k1－8＝0.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，

设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

所以Δ＝[－8k1(2k1－1)]2－4(3＋4k)(16k－16k1－8)＝32(6k1＋3)＞0，

所以k1＞－.

又x1＋x2＝
，x1x2＝，

因为·＝2，

即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝，

所以(x1－2)·(x2－2)(1＋k)＝|PM|2＝.

即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k)＝.

所以


(1＋k)＝＝，解得k1＝±.

因为k1＞－，所以k1＝.

于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝x.