体验 探究 合作 展示

吉林省长春市十一中2013-2014学年高二下学期期初考试 数学理

一、选择题（每题5分，共60分）

1.复数
（
）是纯虚数，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知命题
：函数
的最小正
周期是
；命题
：若函数
是奇函数，则
的图像关于点
对称，下列命题是真命题的是（ ）

A.
B.
C.
D.

3.由
十个数码和一个虚数单位
，可以组成虚数的个数是（ ）

A.
B.
C.
D.

4.向量
且
∥
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图曲线部分为

半圆弧，则该几何体的体积为（ ）

A.

B.

C.
[来源:Z+xx+k.Com]

D.

6.函数
的零点所在区间为（ ）

A.
B.

C.
D.

7.运行如图所示的算法流程图，

当输入的
值为（ ）时，输出的
值为
.

A.

B.

C.

D.

8.已知
，

猜想
的表达式为（ ）

A.
B.
C.
D.

9.在区间
和
内分别取一个数，记为
，则方程
（
）表示离心率小于
的双曲线的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

10.已知函数
，则下列结论中正确的是（ ）

A.若
是
的极值点，则
在区间
内是增函数

B.若
是
的极值点，则
在区间
内是减函数

C.
且
，

D.
，
在
是增函数

11.抛物线
的焦点为
，
为抛物线上的动点，又已知点
，则
的取值范围是（ ）

A.
B.

C.
D.

[来源:学科网][来源:Z.xx.k.Com]

12.函数
，则方程
恰好有两个不同的实根时，实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（每题5分，共20分）

13. 已知椭圆方程为：
，则该椭圆的焦距为 .

14.对大于或等于
的自然数，
的
次方幂有如下分解方式：

根据上述分解规律，若
，
的分解式中最小的数是
，则
.

15.六张卡片上分别写有数字
，从中任取四张排成一排，可以组成不同的四位偶数的个数为 .

16.已知数列
满足：
，
，
，
表示
的前
项和，那么
.

三、解答题

17.（本题满分10分） 已知
，
.

（1）若
，求
的值；

（2）设
，若
，求
的值.

18.（本题满分10分）已知等比数列
的前
项和
.

（1）求
的值及
的通项公式；

（2）设
，数列
的前
项和为
，求
的最小值.

19. （本题满分10分） 如图，菱形
的边长为4，
，
，将菱形
沿对角线
折起，得到三棱锥
，点
是棱
的中点，
.

（1）求证：
∥平面
；

（2）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.

2
0. （本题满分10分）如图，已知抛物线
：
和圆
：
，过抛物线上一点
（
）作两条直线与圆
相切于
两点，分别交抛物线于
，圆心
到抛物线准线的距离为
，

（1）求抛物线
的方程；

（2）当
的角平分线垂直于
轴时，

求
直线
的斜率；

（3）若直线
在
轴上的截距为
，求
的最小值.

21.
（本题满分10分） 已知函数
，

（1）证明：
；

（2）当
，不等式
恒成立，求

的取值范围.

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长春市十一高中2013-2014学年度高二下学期期初考试

数
学 试 题 （理）答 案

一、选择题（每题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

B

B

A

A

D

D

C

D

D

C



二、填空题（每题5分，共20分）

13.
14.
15. 66 16.

三、解答题

17.（10分）[来源:学&科&网][来源:学科网]

解：（1）∵
，
∴
=8

∴

（2）∵
∴

∴

①2+②2得1+1+2
∴

18.（10分）

解：（1）
………………………………2分

∴
………………………………………5分

（2）∵
∴

∴
是公差为2的等差数列。

∴

∴当
时，
………………………………………10分

19.（10分）

解：(1)在
中，
分别为
中点，

∥
,

∥平面

(2)OD=2，OM=2，D
M=2

∴
,即

又四边形ABCD是菱形，所以

又

∴

而
∴
两两互相垂直

以
分别为
轴建立
空间直角坐标系。

则

,
,
,

设平面OMD的法向量为

平面ABD的法向量为

可求得
，

∴平面ABD与平面OMD成锐二面角，

∴平面ABD与平面OMD成锐二面角的余弦值为
。

20.（10分）

解:（1）点
到抛物线准线的距离为
，所以：
，

所以抛物线
的方程为：

（2）当
的角平分
线垂直于
轴时，由对称性知，
，并且此时

设
，所以：
，

又
代入上式有：

所以：

（3）显然，
四点共圆，并且由直径式圆的方程得：

直线
为该圆与圆
的公共弦，所以
：

令：
，则，直线
在
轴
上的截距为
，

为增函数，故
的最小值为

21.(10分)

解:（1）设
，则
,

当
时，
，
单调递减；

当
时，
，
单调递增；

所以：
，又
，所以：

当
时，
，
单调递增；

当
时，
，
单调递减；

所以：

综上有：

（2）（ⅰ）若
，则
时，
，不等式不成立；

（ⅱ）若
，则当
，
，不等式不成立；

（ⅲ）若
，
等价于
-------①

设
，
，则
，

（ⅳ）若
，
时，
，
单调递增，
，①成立；

（ⅴ）若
，则当
，
，
单调递减，

①不恒成立，于是，
时，不等式①成立当且仅当
，

综上：