第Ⅰ卷（选择题，共120分）

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.

2.每小题选出答案后，用铅笔把答
题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．

一、本题共20小题，每小题6分，共120分，在每小题给出的四个选项中选出一个符合题目要求的选项．

1．在等差数列3，7，11，…中，第5项为( )．

A．15 B．18 C．19 D．23

2．已知
，
为非零实数，且
，则下列不等式不能成立的是

A．
B．
C．
D．

3．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝1∶
∶2，则sin A∶sin B∶sin C＝( )．[来源:学。科。网]

A．1∶
∶2 B
．2∶
∶1 C．1∶2∶
D．
∶2∶1

4．已知等差数列
中，
，
，则
等于

A．138 B．135 C．95 D．23

5．若
，则下列不等式成立的是

A．

B．

C．
D．

6．在
中，若
，则
必定是

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

7．不等式
的解集为

A．
B．
C．
D．

8．已知
为等比数列，Sn是
它的前n项和。若
， 且
与2
的等差中项为
，则
=

A．35 B．33 C．31 D．29

来9．海上有
，
两个小岛相距10
海里，从
岛望
岛和
岛成60°的视角，从
岛望
岛和
岛成30°的视角，则
，
两岛间的距离是[来源:学科网]

A．
海里 B．
海里 C．
海里 D．
海里

10．当x＞1时，不等式x＋
－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )．

A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3]

11．已知各项均为正数的等比数列
中，
，则
等于

A．5 B．10 C．15 D．20

12．在△ABC中，a＝2
，b＝2
，∠B＝45°，则∠A为．

A．30°或150° B．60° C．60°或120° D．30°

13．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k＝

A．9 B．8 C．7 D．6

14．若变量
满足约束条件
则
的最大值为

A．4 B．
C．2 D．1

15．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果
，∠B＝30°，△ABC的面积为
，那么b＝( )．

A．
B．1＋
C．
D．2＋

16．设集合A＝{(x，y)|x，y，1―x―y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是

A． B． C． D．

17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分
别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且
，则

A．
B．
C．
D．

18．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有( )．

A．a3＋a9＜b4＋b10 B．a3＋a9≥b4＋b10

C．a3＋a9≠b4＋b10 D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定

19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是

A． 12万元 B． 20万元 C． 25万元 D．27万元

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=
a，则

A．a＞b B．a＜b

C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定

第Ⅱ卷(非选择题，共105分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分，把答案填在答案纸中横线上.

21．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝8，a4＋a5＋a6＝－4，则
＝

；

22．在
中，若
，那么角
=___
___；

23．不等式
的解集为__
__；

24．不等式组
所表示的平面区域的面积是 24
；

25．在
中，若
，
，
，则的最大内角的余弦值为
_；

26．设
是公比为
的等比数列，首项
，对于
，
，当且仅当
时，数列
的前
项和取得最大值，则
的取值范围为

．

三、解答题：本大题共5小题，共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

27．（本小题满分13分）

求下列关于
的不等式的解集：

(Ⅰ)
；

(Ⅱ)
（
）．

解：(Ⅰ)原不等式整理，得

．……………………………1分

因为
，方程
的解是

，
．
……………………………3分

所以，原不等式的解集是
．……………………………5分

(Ⅱ)方程
的解是

，
．……………………………7分

所以，当
时，原不等式的解集是
；……………………………9分

当
时，原不等式的解集是
；……………………………11分[来源:学&科&网][来源:Zxxk.Com]

当
时，原不等式的解集是
．……………………………13分

28． (本小题满分13分)

在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若bcos C＝(2a－c)cos B，

(Ⅰ)求∠B的大小；

(Ⅱ)若
b＝
，a＋c＝4，求△ABC的面积．

19．解：(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sin Bcos C＝2sin Acos B－cos Bsin C，

∴ 2sin Acos B＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin(B＋C)．…………………………3分

又在三角形ABC中，sin(B＋C)＝sin A≠0，

∴ 2sin Acos B＝sin A，

即cos B＝
，……………………………5分

B＝
．……………………………6分

(Ⅱ)∵ b2＝7＝a2＋c2－2accos B，

∴ 7＝a2＋c2－ac，……………………………9分

又 (a＋c)2＝16＝a2＋c2＋2ac，

∴
ac＝3，……………………………11分

∴ S△ABC＝
acsin B，

即S△ABC＝
·3·
＝
．……………………………13分

29．（本小题满分13分）

设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列，它的前
项和为
，
且a1，a2，a4成等比数列．

(Ⅰ)证明a1＝d；

（Ⅱ）求公差d的值和数列{an}的前
项和
；

（III）设
，求数列
的前
项和
．

解析：(Ⅰ)证明：因a1，a2，a4成等比数列，故
＝a1a4，……………………1分

而{an}是等差数列，有a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，

于是(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，

即
＋2a1d＋d2＝
＋3a1d．……………………4分

d≠0，化简得a1＝d．…………………………5分

（Ⅱ）由条件S10＝110和S10＝10a1＋
，得到10a1＋45d＝110，……7分[来源:学§科§网Z§X§X§K]

由(Ⅰ)，a1＝d，代入上式得55d＝110，

故d＝2，…………8分

所以
，an＝a1＋(n－1)d＝2n．

因此，数列{an}的通项公式为

(n＝1，2，3，…)．…………………………10分

（III）由（Ⅱ），得
，…………………………11分

所以，

，

即
．……………………………13分

30．（本小题满分15分）

如图，
某人计划用篱笆围成一个一边靠
墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园。设菜园的长为
m，宽为
m．

（Ⅰ）若菜园面积为72m2，则
，
为何值时，可使所用篱笆总长最小？

（Ⅱ）若使用的篱笆总长度为30m，求
＋
的最小值。

解：（Ⅰ）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x＋2y．……………2分

又因为x＋2y≥2
＝24，…………………4分

当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．…………………6分

所以菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小。………7分

（Ⅱ）由已知得x＋2y＝30，……………………………8分

又因为（
＋
）·（x＋2y）＝5＋
＋
≥5＋2
＝9，……………11分

所以
＋
≥
，……………………………………12分

当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．………………………………14分

所以
＋
的最小值是
．…………………………………………15分

31．（本小题满分15分）

已知数列
的前n项和Sn＝n2＋2n（其中常数p>0），数列{a
}的前n项和为T
。

（Ⅰ）求数列{a
}的通项公式；

（Ⅱ）求T
的表达式；

（III）若对任意n∈N＊，都有
恒成立，求
的取值范围。

21．（本题满分12分）

解：（Ⅰ）当n＝1时，a
1＝S1＝3； 1分

当n≥2时，
＝Sn－Sn－1＝2n＋1，得an＝（2n＋1）pn－1． 3分

又因为n＝1也满足上式，所以an＝（2n＋1）pn－1 4分

（Ⅱ）Tn＝3＋5p＋7p2＋…＋（2n＋1）pn－1．

①当p＝1时，Tn＝n2＋2n； 6分

②当p
1时，由Tn＝3＋5p＋7p2＋…＋（2n＋1）pn－1得

pTn＝3p＋5p2＋7p3＋…＋（2n－1）pn－1＋（2n＋1）pn，

则（1－p）Tn＝3＋2（p＋p2＋p3＋…＋p n－1）－（2n＋1）p n，……………7分

得Tn＝
＋
－
（2n＋1）p n．………………9分

综上，当p＝1时，Tn＝n
2＋2n；

当p
1时，Tn＝
＋
－
（2n＋1）p n．………10分

（III）①当p＝1时，显然对任意n∈Ｎ*，都有（1－p）Tn＋pan≥2pn恒成立； 11分

②当p
1时，可转化为对任意n∈Ｎ*，都有3＋
≥2pn恒成立．

即对任意n∈Ｎ*，都有
≥
pn恒成立．

当0

当1

只要有
≤pn对任意n∈Ｎ*恒成立，

只要有
≤p成立，解得：1

当p≥2时，不满足。 …………………14分

综上，实数p的取值范围为（0，
]．…………………15分