吉林省实验中学

2012—2013学年度下学期期末考试

高二数学理试题

一、选择题（每题5分，共60分）

1．若集合
，集合
= （ ）

A．
B．

C．
D．

2．下列各函数中值域为
的是 （ ）

A．
B．
C．
D．

3．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为( )

A．2,2

B．2
,2

C．4,2

D．2,4

4．已知实数
,则“
”是 “
”的 ( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件

5．运行右图所示的程序框图．若输入
，则输出
的值为 ( )

A．
B．

C．
D．

6.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为

24，则这个长方体的一条对角线长为 （ ）

A．
B．
C．5 D．6

7.若直线
经过圆
的圆心，则
的最小值是 （ ）

A．
B．
C．4 D．2

8．在△ABC中，
，则sinA= （ ）

A．
B．
C．
D．

9. 定义在R上的函数
是偶函数，且
，若
时，
，则
的值为 （ ）

A．-1 B．3 C．1 D．-3

10. △ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3＋4＋5＝，则△AOB的面积＝ （ ）

A．
B．
C.1 D．

11．已知A，B，C，D，E是函数

＞0，0＜
＜
一个周期内的图像上的五个点，如图所示，
，B为y轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，
在x轴上的投影为
，则
的值为 ( )

A.
B.

C.
D.

12．已知
为
上的可导函数，当
时，
，则关于x的函数
的零点个数为 （ ）

A.1 B.2 C.0 D.0或 2

二、填空题（每题5分，共20分）

13．已知
为等差数列，若
，则
的值为

14.为了“城市品位、方便出行、促进发展”，长春市拟修建地铁，市某部门问卷调查了n个市民,其中赞成修建地铁的市民占80％，在赞成修建地铁的市民中又按年龄分组，得样本频率分布直方图如图，其中年龄在
岁的有400人，
岁的有m人，则n=　　 , m=

15.已知
，
，
，
和
的夹角是锐角，则实数
的取值范围是 .

16.已知函数
，若
时，不等式
恒成立，则实数t的取值范围是 .

三解答题

17．（12分）已知关于
的一元二次方程
．

（Ⅰ）若
是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；

（Ⅱ）若
，求方程没有实根的概率．

18. （满分12分）已知圆C：
。（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P(
)向该圆引一条切线，切点为M且有
（O为原点），求使
取得最小值时点P的坐标。

19．（满分12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．

（1）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；

（2）求证：平面BDE⊥平面SAC；

（3）当二面角E-BD-C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由．

20．(满分12分）数列
：满足

(Ⅰ) 设
，求证
是等比数列；(Ⅱ) 求数列
的通项公式;

（Ⅲ）设
,数列
的前
项和为
,求证:

21．已知函数

（1）求
的单调区间；

（2）求证：

选考题（本小题满分10分）（请考生在22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑）

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，
内接于⊙O，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D。 （I）求证：

（II）若
，⊙O的半径为1，且P为弧
的中点，求AD的长。

23.本题满分10分）选修4—4：坐标与参数方程

已知直线的极坐标方程为
，圆
的参数方程为
（其中
为参数）

（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆
上的点到直线的距离的最小值

24．选修4—5：不等式选讲

已知函数

（1）当a=0时，解不等式

（2）若存在
成立，求实数a的取值范围。

参考答案

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

D

D

B

B

C

C

A

C

D

B

C



二．填空题（本大题共20小题，每小题5分，共计20分）

13．
14. n=　4000 , m= 1120

15.
且
16. __
___．

三、解答题

17.(满分12分)

解：（Ⅰ）基本事件
共有36个，方程有实根
，

方程有根等价于Δ≥0， (a－2)2＋b2≥16.

设“方程有两个实根”为事件
，则事件
包含的基本事件共36-14=22个，

故所求的概率为
； ……………6分

（Ⅱ）试验的全部结果构成区域
，其面积为

设“方程无实根”为事件
，则构成事件
的区域为

，

其面积为

故所求的概率为
………………12分

18. (满分12分)

解: ( 1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.

①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得

＝，即k＝2±，从而切线方程为y＝(2±)x . .……………………3分

②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，

由直线与圆相切得x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.∴所求切线的方程为y＝(2±)x

x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0 .……………………6分

(2)由|PO|＝|PM|得，x12＋y12＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2?2x1－4y1＋3＝0. .…………8分

即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，|PM|取最小值时即

|OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x＋y＝0. .……………………10分

解方程组得P点坐标为 ..……………………12分

19. (满分12分)

证明：（Ⅰ）连接
，由条件可得
∥
．

因为
平面
，
平面
，

所以
∥平面
．

（Ⅱ）法一：证明：由已知可得，
,
是
中点，

所以
，

又因为四边形
是正方形，所以
．

因为
，所以
．

又因为
，所以平面
平面
． -

（Ⅱ）法二：证明：由（Ⅰ）知
，
．

建立如图所示的空间直角坐标系．

设四棱锥
的底面边长为2，

则
，
，
，

，
，
．

所以
，
．

设
（
），由已知可求得
．

所以
，