瑞安中学2012学年第二学期期末考试高二数学（理科）试卷

一、选择题(每小题4分，共40分)

1．因为无理数是无限小数，而
是无理数，所以
是无限小数．属于哪种推理（ ）

A．合情推理 　 B．类比推理　 C．演绎推理　 D．归纳推理

2.已知复数
满足
，
为虚数单位，则z＝（ ）

A．
B．
C．
D．

3．若离散型随机变量
的分布列如下：

0

1







0.4



则
的方差
( )

A．0.6 B．0.4 C．0.24 D．1

4..对任意的实数
，有
，则
的值是（ ）

A．3 B．6 C．9 D．21

5 .在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点(4，)作曲线C的切线，则切线长为(　 ) A．4 B. C．2 D．2

6. 正三角形的中心与三个顶点连线所成的三个张角相等,其余弦值为
，类似地正四面体的中心与四个顶点连线所成的四个张角也相等，其余弦值为( )。

A．
B．
C．
D．

7.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了
次球，则
等于 （ ）ks5u

A.
B.
C.
D.















































8．若函数
在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是( )

A．
B．

C．
D．不存在这样的实数k

9.如图所示的阴影部分由方格之上3个小方格组成我们称这样的图

案为L形（每次旋转
仍为L形的图案），那么在4
5小方格的纸上

可以画出不同位置的L形的图案的个数 （ ）

A.16 B.32 C.48 D.64

10. 设正实数
满足
,则当
取得最大值时,
的最大值为 ( ) A.0 B.1 C.
D.3

二、填空题(每小题4分，共20分)

11．设
为实数，复数

12.
的展开式的常数项是 ．

14.湖面上有四个相邻的小岛A，B，C，D，现要建3座桥梁，将这4个

A D

小岛连接起来，共有 种不同的方案.

B C

15．已知函数
，

其导函数为
，设
，则
．

三.解答题(每小题12分，共60分)

16.袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球.

（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率；

（Ⅱ）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分.求得分
的分布列和数学期望.

，

ks5u

19. 已知函数
满足：
（
），

（1）用反证法证明：
不可能为正比例函数；

（2）若
，求
的值，并用数学归纳法证明：对任意的
，均有：
. ks5u

20. 已知
，直线
与函数
的图像都相切，且与函数
的图像的切点的横坐标为1．

（1）求直线
的方程及
的值；

（2）若
（其中
是
的导函数），求函数
的最大值；

（3）当
时，求证：
．

高二数学（理科）答案

选择题：CACBC DBBCD 二.填空题11.1+3i, 12.-12, 13.2013, 14.16, 15-9900

三.解答题16.解：（Ⅰ）从袋子里有放回地取3次球，相当于做了3次独立重复试验，每次试验取出红球的概率为
，取出黑球的概率为
，设事件
“取出2个红球1个黑球”，则
……………6分

（Ⅱ）
的取值有四个:3、4、5、6，分布列为：
，
,
，
.

3

4

5

6

















………10分

从而得分
的数学期望
.0……12分

17.解（1）曲线C：
的一般方程为：

直线
：
的参数方程为：
把直线方程
代入曲线C：
，得：
设
是方程的两根,则
=
…6分

=
.……12分

18. 解：（Ⅰ）当
时，
，从而
． …2分

① 当
时，
，解得
；② 当
时，
，无解；

③ 当
时，
，解得
．综上，x的取值范围是
或
…6

（Ⅱ）∵
，
，ks5u

∴

=1，

∴
． …10分 当
，即
，
时，
．　　　　 …12分

19. 解：（1）假设
，代入可得：
对任意
恒成立，故必有
，但由题设知
，故
不可能为正比例函数.……5分

（2）由
，可得：
，
…………7分

当
时：显然有
成立.

假设当
时，仍然有
成立.则当
时，

由原式整理可得：
=
…….……9分

令
，故

…….……11分

故
成立.综上可得:对任意的
，均有
.…….……12分

20. 解：（Ⅰ）依题意知：直线
是函数
在点
处的切线，故其斜率

，所以直线
的方程为
．又因为直线
与
的图像相切，所以由

，

得
（
不合题意，舍去）；….……4分

（Ⅱ）因为
（
），所以

．当
时，
；当
时，
．

因此，
在
上单调递增，在
上单调递减．ks5u

因此，当
时，
取得最大值
；….……8分

（Ⅲ）当
时，
．由（Ⅱ）知：当
时，
，即
．因此，有
．….……12分ks5u