牡一中2012-2013学年度下学期期末考试高二学年

数学（理科）试题

一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。）

1．甲校有
名学生，乙校有
名学生，丙校有
名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为
人的样本，应在这三校分别抽取学生（ ）

A.
人,
人，
人　 　 B.
人，
人，
人

C.
人，
人，
人　　 D.
人，
人，
人

2．某咖啡屋支出费用
与销售额
(单位：万元)之间有如下对应数据，根据表中提供的数据，得出
与
的线性回归方程为
，则表中的
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．



























3． 五位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有（ ）

A.
种 B.
种 C.
种 D.
种

4.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数

，则下列命题不正确的是( )

Ａ．该市这次考试的数学平均成绩为
分

Ｂ．分数在
分以上的人数与分数在
分以下的人数相同

Ｃ．分数在
分以上的人数与分数在
分以下的人数相同

Ｄ．该市这次考试的数学标准差为

5．下列推理合理的是（　　）

Ａ．
是增函数，则

Ｂ．因为
，则

Ｃ．
为锐角三角形，则

Ｄ．直线
，则

6.在
的展开式中，常数项是（　 　）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

7．某事件
发生的概率为
，则事件
在一次试验中发生的次数
的方差的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1，2, 3, 4, 5可构成不重复的“五位波浪数”的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

9．某电影院第一排共有
个座位，现有
名观众就座，若他们每两人都不能相邻且要求每人左右至多只有两个空位，那么不同的坐法种数共有 （ ）

A.
B.
C.
D.

10．下列四个命题正确的是

①在频率分布直方图中估计平均数，可以用每个小矩形的高乘以底边的中点的横坐标之和；

②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；

③用相关指数
来刻画回归效果，
越小，说明模型的拟合效果越好；

④随机误差
是衡量预报精确度的一个量，它满足
；

⑤对分类变量
和
，它们的随机变量
的观测值
来说，
越小，认为“
和
有关系”的把握程度越大。

A.①③ B．②④ C．③⑤ D．②③

11．考察正方体
个面的中心，甲从这
个点中任意选两个点连成直线，乙也从这
个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）

A.
B.
C.
D.

12．在
的二项展开式中任取
项，
表示取出的
项中
有
项系数
为奇数的概率. 若用随机变量
表示取出的

项中系数为奇数的项数
，则随机变
量
的数学期望
（ ）

Ａ．
Ｂ．
C．
Ｄ．

二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）

13．已知
，
，若向区域
上随机投一点
，则点
落入区域
的概率为____________。

14．设
＝
，则二项式
展开式中含
项的系数是 。

15．从装有
粒大小、形状相同但颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率
与倒出偶数粒玻璃球的概率
的（大小或相等）关系是 。

16．甲罐中有
个红球，
个白球和
个黑球，乙罐中有
个红球，
个白球和
个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以
和
表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以
表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）。

①
； ② 事件
与事件
相互独立； ③

④
是两两互斥的事件；

⑤
的值不能确定，因为它与
中哪一个发生有关

三、解答题（本大题共有6个小题，共70分）

17. （本小题满分10分）

百货大楼在五一节举行抽奖活动，规则是：从装有编为
、
、
、
四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于
中一等奖，等于
中二等奖，等于
中三等奖。

（1）求中三等奖的概率；

（2）求中奖的概率。

18．（本小题满分12分）

甲乙两队参加知识竞赛，每队
人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为
，乙队中
人答对的概率分别为
且各人正确与否相互之间没有影响.用
表示甲队的总得分.

（Ⅰ）求随机变量
分布列

（Ⅱ）用
表示“甲、乙两个队总得分之和等于
”这一事件，用
表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求
。

19.（本小题满分12分）

已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼，为了估计

这两种鱼的数量，养殖者从池塘中捕出两种鱼各
只，给每只鱼

做上不影响其存活的标记，然后放回池塘，待完全混合后，再每次

从池塘中随机的捕出
只鱼，记录下其中有记号的鱼的数目，立

即放回池塘中。这样的记录做了
次，并将记录获取的数据做成以

下的茎叶图。

（Ⅰ）根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数，

并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的数量；

（II）为了估计池塘中鱼的总重量，现从中按照（Ⅰ）的比例对
条鱼进行称重，据称重鱼的重量介于
（单位：千克）之间，将测量结果按如下方式分成九组：第一组
、第二组
；……，第九组
。右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分。

①估计池塘中鱼的重量在
千克以上（含
千克）的条数；

②若第二组、第三组、第四组鱼的条数依次成公差为
的等差数列，请将频率分布直方图补充完整；

③在②的条件下估计池塘中鱼的重量的众数、中位数及估计池塘中鱼的总重量；

（Ⅲ）假设随机地从池塘逐只有放回的捕出
只鱼中出现鲤鱼的次数为
，求
的数学期望。

20．（本小题满分12分）

已知
的展开式前三项中的
的系数成等差数列.

　（1）求展开式中所有的
的有理项；（2）求展开式中系数最大的项.

21．（本小题满分12分）

因金融危机，某公司的出口额下降，为此有关专家提出两种促进出口的方案，每种方案都需要分两年实施。若实施方案一，预计第一年可以使出口额恢复到危机前的
倍、
倍、
倍的概率分别为
、
、
；第二年可以使出口额为第一年的
倍、
倍的概率分别为
、
。若实施方案二，预计第一年可以使出口额恢复到危机前的
倍、
倍、
倍的概率分别为
、
、
；第二年可以使出口额为第一年的
倍、
倍的概率分别为
、
。实施每种方案第一年与第二年相互独立。令
表示方案
实施两年后出口额达到危机前的倍数。

（1）写出
的分布列；

（2）实施哪种方案，两年后出口额超过危机前出口额的概率更大？

（3）不管哪种方案，如果实施两年后出口额达不到、恰好达到、超过危机前出口额，预计利润分别为
万元、
万元、
万元，问实施哪种方案的平均利润更大？

22．（本小题12分）已知：

（1）当
时，求
的值。

（2）设
，求证：
。

牡一中2012-2013学年下学期期末考试高二学年

数学（理科）试题答案

B

B

D

B

C

C

C

D

C

B

D

D









③④



17.（1）
（2）

18.（1）

0

1

2

3



 P













(2)

19. （Ⅰ）鲤鱼与鲫鱼的平均数目为
，
，估计鲤鱼数目
鲫鱼数目
。

（II）①
条。

②频率分别为
、
、
，可将补充完整。

③众数为
千克，中位数为
千克，平均数为
千克，所以鱼的总重为
千克。

（Ⅲ）显然
满足
，数学期望

20. （1）有理项为
,
,

（2）系数最大项
,

21.(1)
,
的分布列为：

1.25

1.125

1

0.9

0.8



P

0.15

0.15

0.35

0.15

0.2





1.44

1.2

1

0.96

0.8



P

0.08

0.24

0.18

0.2

0.3



（2）设实施方案一、二，两年后出口额超过危机前出口额的概率分别为

,
,所以实施方案二的概率更大。

（3）设实施方案一、二两年后的利润分别为

的分布列为：

10

15

20



P

0.35

0.35

0.3





10

15

20



P

0.5

0.18

0.32





所以第一个方案的平均利润更大。

22.（1）

（2）略