南开中学高2014级高二(下)期末测试卷

数 学（理工农医类）

数学（理工农医类）
测试卷共4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须使用2B
铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3. 答非
选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的
位置上。

4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5. 考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一

项是符合题目要求的．

（1）若
是纯虚数，则实数
的值为

（A）
（B）
（C）

（D）

（2）已知函数
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）已知集合
，
，
，则实数
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）已知
,“
”是“
”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（5）某个自然数有关的命题，如果当
时，该命题不成立，那么可推得
时，该命题不成立.现已知当
时，该命题成立，那么，可推得

（A）
时，该命题成立 （B）
时，该命题成立

（C）
时，该命题不成立 （D）
时，该命题不成立

（6）一个几何体的三视图如题(6)图所示，

则该几何体的
侧面积为

（A）

（B）

（C）

（D）

（7）对给出的下列命题：

①
；②
；③
；

④若
，则
．其中是真命题的是

（A）①③ （B）②④

（C）②③ （D）③④

（8）
个女生与
个男生站成一排合影，要求女生甲不站左端，且其中一个女生恰好站在两个

男生之间的站法有[来源:Zxxk.Com]

（A）
种 　　 （B）
种 　　 （C）
种 　 （D）
种

（9）若
使
成立，则实数
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）如题（10）图，用
个半径为
的小圆去覆盖一个半径为
的大圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．

（11）二项式
的展开式中
的系数是 ．

（12）已知映射
,其中
,对应法则
若对实数
,在集合
中不存在原象,则
的取值范围是 .

（13）已知函数
，若
且
，则
的最小值为 .

考生注意：14～16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．

（14）如题(14)图，圆
的半径为
，直线
与圆
相切

于点
，
，直线
交圆
于
两点，

则
的长为 ．

（15）在极坐标系中，点
到曲线
上点
的距离最小，点
的极坐标为 ．

（16）设函数
,其中
,若不等式
的解集为
，则
的值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分
13分）

甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达标的概率分别是
，且三人能否达标互不影响．

（Ⅰ）若三人中至少有一人达标的概率是
，求
的值；

（Ⅱ）设甲在
次相互独立的测试中能达标的次数为随机变量
，求
的概率分布列及数学期望．

（18）（本小题满分13分）

已知定义在
上函数
为奇函数．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
的值域．

（19）（本小题满分13分）

如题(19)图，直四棱柱
中，

∥
．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的大小．

（20）（本小题满分12分）[来源:学科网ZXXK]

设函数
，其中
．

（Ⅰ）若
在其定义域内是单调函数
，求
的取值范围；

（Ⅱ）若
在
内存在极值，求
的取值范围.

（21）（本小题满分
12分）

已知椭圆
的左、右顶点分别是
、
，离心率为
，点
在该椭圆上．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设直线
过点
且与椭圆
交于
、
两点,设直线
与
的交点为
，求证：
.

（22）（本小题满分12分）

已知集合
，设
的子集
满足如下性质：

（1）如果
，则
；

（2）
，
与
有且仅有一条成立.

求证：（Ⅰ）
；

（Ⅱ）设
，则
的充要条件是
.

高2014级高二下期末考试参考答案（理科）

一、选择题

DABBB DDCCD

二、填空题

11.
12.
13.
14.
15.
16.

三、解答题

17．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设三人中至少有一人达标为事件
，则

……………6分

（Ⅱ）

，

，

的分布列为

……………13分

18. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由
为
上的奇函数，知
，由此解得
，故
.

（Ⅱ）设
的值域为
，则
当且仅当关于
的方程
有根，当
时，根为
符合；

当
时，
，于是
且
；

综上，值域为
.

19．（本小题满分13分）

解：以点
为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：

设
,则

………2分[来源:学+科+网][来源:学科网ZXXK]

（Ⅰ）

平面

平面
平面
;………………7分

（Ⅱ）

设平面
与平面
的法向量分别为：
则

，令
则

，令
则

，
二面角
的大小为
……………13分

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

在
上单调，则

当
时，
，符合；当
时，
即
；

；

（Ⅱ）要使
在
内存在极值，由（Ⅰ）知首先有
或
，另外还需要方程[来源:Z+xx+k.Com]

的根在
内 对
称轴

只需

解得
或

或
．

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由

由
.椭圆
的方程为
……………4分

（Ⅱ）设
,由

设
.……………7分

又设
为直线
与
的交点，
为直线
与
的交点.

的方程是
,同理,

由

,
、
为同一个点. 即
与
的交点
横坐标为
.……12分

22．（本小题
满分12分）

证明：（Ⅰ）由条件（2），
与
有且仅有一条成立，若
，则
，

又由条件（1），
，这是一个矛盾.故
.

（Ⅱ）若
，又由（Ⅰ）知
，则由条件（1），
，由数学归纳法原理，这说明
包含所有的正整数.

现在我们考虑一个正的分数
，由条件（2），
与
有且仅有一个成立，若
，又已证
，
则由条件（1），
，这与已证的
矛盾（

与
有且仅有一条成立）.故
.即
包含所有的正分数.于是由条件（2），
不可能含有任何负分数.