宁波万里国际学校2012-2013学年高二下学期期末考试

数学（理）试题

答卷时间：120分钟 满分：150分

注意：1. A题供创新班学生及希望调整进入创新班的同学做；B题供平行班同学做．

2. 参考公式：

球的表面积公式

S=4πR2

球的体积公式

V=
πR3

其中R表示球的半径

棱锥的体积公式

V=
Sh

其中S表示棱锥的底面积, h表示棱锥的高

棱柱的体积公式

V=Sh

其中S表示棱柱的底面积, h表示棱柱的高

棱台的体积公式

V=

其中S1, S2分别表示棱台的上、下底面积, h表示棱台的高

如果事件A, B互斥，那么

P(A+B)=P(A)+P(B)



一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．若i为虚数单位，则关于
，下列说法不正确的是

A．
为纯虚数 B．
的虚部为
C．|
|=l D．
在复平面上对应的点在虚轴上

2．下列式子不正确的是

A.
B.

C．
D．

3．已知复数
，下列命题中：①
不能比较大小；②若
，则
；③
；④若
，则
.其中正确的命题是

A．②③ B．①③ C．③④ D．②④

4．用数学归纳法证明等式
时，第一步验证
时，左边应取的项是

A．1 B．
C．
D．

5．(A题）直线
为参数)的倾斜角等于

A．
B．
C．
D．

（B题）如图，空间四边形ABCD中，
分别是BC、CD

的中点，则
等于

A．
B．
C．
D．

6．已知二项式
的展开式中第四项为常数项，则
等于

A．9 B．6 C．5 D．3

7．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有

A．96种 B．48种 C．34种 D．144种

8. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两

局才能得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为

1

2

3

4



P











A． B． C． D．

9.已知随机变量
和
，其中
，且

，若
的分布列如右表，则
的值为

A． B． C． D．

10. 已知函数
的定义域为
，部分

对应值如下表，
的导函数
的

图象如图所示． 下列关于
的命题：

①函数
的极大值点为
，
；

②函数
在
上是减函数；

③如果当
时，
的最大值是2，

那么
的最大值为4；

④当
时，函数
有
个零点；

⑤函数
的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的个数是

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11．已知f(x)＝x3的所有切线中，满足斜率等于1的切线有 条.

12．已知
，则
.

13．复数
，则
．

14．俗话说：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，某校三位学生参加数学省举行的数学团体竞赛，

对于其中一题，他们各自解出的概率分别是
，由于发扬团队精神，此题能解出的概

率是 ．

15．（A题）在极坐标系中，曲线
，曲线
，若曲线
与
交于
两点，则线段
的长度为 ．

（B题）已知
，且
的方向向量为
，平面
的法向量为
，则
．

16．（A题）已知函数
．若关于
的不等

式
的解集非空，则实数
的取值范围是________ ．

（B题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，

，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与

平面BB1C1C所成的角为______.

17．已知函数
若对任意的
，不等式
在
上恒成立，则
的取值范围是____________.

三、解答题（本大题共5小题，共69分）

18．（本题满分13分）已知甲、乙、丙等6人 .

（1）这6人同时参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？

（2）这6人同时参加6项不同的活动，每项活动限1人参加，其中甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有多少种不同的安排方法？

（3）这6人同时参加4项不同的活动，求每项活动至少有1人参加的概率.

19．（本题满分13分）（A题）以原点
为极点，以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
，过点
的直线
的参数方程为
，设直线
与曲线
分别交于
；

（1）写出曲线
和直线
的普通方程；

（2）若
成等比数列,求
的值．

（B题）如图，在棱长为1的正方体
中，
、

分别为
和
的中点．

(1)求平面
与平面
所成的锐二面角；

(2)若点
在正方形
内部或其边界上，且
平面
，求
的取值范围．

20．（本题满分14分）某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考察得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ，η.

(1)写出ξ的概率分布列，并求出E(ξ)，E(η)；

(2)求D(ξ)，D(η)．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？

21．（本小题满分14分）（A题）已知
，且
．

(1)求证：
；

(2)若
恒成立，求实数
的最大值．

（B题）设函数
．

（1）若
，求
的值；

（2）若
，
在
处取得极值
，且过点
可作曲线
的三条切线，求
的取值范围.

22．（本题满分15分）已知函数
．

(1)讨论函数
的单调性；

(2)若函数
的最小值为
，求
的最大值；

(3)若函数
的最小值为
，
为
定义域
内的任意两个值，试比较
与
的大小．

2012-2013学年度第二学期期末考试

高二理科数学参考答案

，由

又因为
，所以
…………………………………………………………………14分

（B题）解: （1）以D为原点，DA，DC，DD1分别为轴，

建立如图所示的直角坐标系，则
，
，

，
.……………………………………2分

平面
的一个法向量为
，设平

面
的法向量为
，

∴

取
得平面
的一个法向量
……………………………………………5分

，因为
为锐角，

∴所求的锐二面角为
． …………………………………………………7分

由η～B(3，)，D(η)＝3××＝．可见，E(ξ)＝E(η)，D(ξ)

因此，建议该单位派甲参加竞赛．………………………………………………………………………………………………14分

21.（A题）解：证明（1）

，且
，

故
当
时等号成立……………………………6分

（2）

，
且
恒成立，

恒成立，

又

当
时等号成立

，故实数
的最大值为
…………………………………………………14分

（B题）解：（1）
，对此等式两边同时求导数得：

，令
得：
，又由二项式定理知

故
………………………………………………6分

此题还可直接利用二项式定理求出
的值，然后再求
的值.

（2）

，由题意可得
，
，解得

经检验，
在
处取得极大值.

………………………8分

设切点为
，则切线方程为

即为
……………………………………………………9分

因为切线方程为
，把
代入可得
，

因为有三条切线，故方程
有三个不同的实根.………………………11分

设

，令
，可得
和















+

0

一

0

+





增

极大值

减

极小值

增



因为方程有三个根，故极小值小于零，
，所以
………………14分

22. 解： (1)显然
，且
……………………………………………1分

当
时，
，函数
在定义域内单调递增；

当
时，若
，
，函数单调递减；

若
，
函数单调递增…………………………4分

(2)由(1)知，当
时，函数
在定义域内单调递增，所以
无最小值.

当
时，
时，
最小，即

所以

因此，当
时，
，函数
单调递增；

当
时，
，函数
单调递减；

故
的最大值是
…………………………………………………………8分

(3) 由(1)知
,极小值即最小值
，

故
分

对于任意的
且
有，