黄冈市2013年春季高二年级期末调研考试

参考答案（理科）

一、选择题

DCABA DBDAC

二、填空题

11、26 12、
13、
14、

三、解答题

16、解：∵原不等式等价于
或
或
, ……… ……3分

解得
或
或
.所以
. ……… ……6分

∴

∵
∴
,∴
. ……… ……10分

∴
. ……… ……12分

17、解:(1)由题意,
,
.因
,故
……………2分

设
,则
.

因△
≌△
,故
.

由
,得
(
). ……6分

(2)记△
的面积为,则

(
). ……………8分

于是,

关于的函数在
上递增,在
上递减. 所以当
时,取得最大值

故当薄板长为
米,宽为
米时,制冷效果最好. ……………12分

（2）解法一：建立坐标系如图．平面
的一个法向量为

设平面
的一个法向量为
，因为
，

所以
，令
，则

由图知,二面角
为锐二面角，故其余弦值为
．……………12分

解法二：过作平面
的垂线，垂足为
，
，过
作
的垂线设垂足为
，
即为所求。
∽

即
在
中

所以二面角
的余弦值为
. ……………12分

19、解：（1）由不等式构造的特点可以得到:
…5分

（2）下面用数学归纳法证明

①当
时,由题设可知,显然成立.

②假设当
时,有
成立. ……………7分

则当
时,

左边=

…………10分

即
时,不等式成立.

综上所述,对于一切正整数,都有
成立. …12分

（II）设直线PE方程为：
，代入
得

设
,
,因为点
在椭圆上，所以

,
………… ……10分

又直线PF的斜率与PE的斜率互为相反数，在上式中以
代
，可得

,

所以直线EF的斜率

即直线EF的斜率为定值，其值为
。 ………… …………13分

21、解：（1）∵
，∴
，∴
。

又∵
，∴
. ………… …………2分

(2)由(1)知,当
时,
, ∴“对任意
，存在
，
成立”等价于“当
时,
”. .………… …………8分

∵
,

①当
时, 因为
,所以
,符合题意;

②当
时,
, ∴当
时,
,
单调递减,所以

,符合题意; .……… …………10分

③当
时,
,所以
时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增.所以,当
时,
.

令
,则
,所以
在(0,1)上单调递增.

∴
,即
.

∴
,符合题意. .………… …………13分

综上所述, 对任意
，存在
，使
成立，求实数的取值范

围是
. .…… …………14分

命题人：团风中学 胡建平 曾祥红