江苏省扬州中学2012—2013学年第二学期月考考试

高二数学试卷 2013.5

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，其中6,9题文理分题，请考生选择相应题目解答，其它文理同题。）

1．复数
的共轭复数是

2．已知
，且
，则m等于________．

3．
是
的___________________条件；

4．已知
，且
，则c的值为________．

5．要使
的图像不经过第一象限，则实数m的取值范围__________．

6. (理科)某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．则一个零件经过检测，为合格品的概率是________

（文科）已知函数f(x)＝a+是奇函数，则实数a的值为：__________

7. 设函数
若
，则x0的取值范围是 ．

8. 若不等式
对于一切
成立，则a的取值范围是

9.（理科）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.

（文科）已知函数
在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的最大值与最小值的和为__________．

10. 若关于x的方程
在
有解，则实数m的取值范围是__________．

11. 若曲线
的一条切线
与直线
垂直，则
的方程为________。

12．已知
在
是减函数，则实数
的取值范围是_________

13. 给出下列三个类比结论：

①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；（其中a,b∈R）

②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；（其中x,y∈R+, α,β∈R）

③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(z1＋z2)2类比，则有(z1＋z2)2＝z12＋2z1·z2＋z22. （其中a,b∈R;z1z2∈C）

其中结论正确的是__________

14. 已知
，且方程
无实数根，下列命题：

①方程
也一定没有实数根；

②若
，则不等式
对一切实数
都成立；

③若
，则必存在实数
，使

④若
，则不等式
对一切实数
都成立．

其中正确命题的序号是 ．

二、解答题（本大题共6道题，共计90分，其中17,19题文理分题，请考生选择相应题目解答，其它文理同题。）

15. 设
，若
，
，
．

（1）若
，求的取值范围；（2）判断方程
在
内实根的个数．

16．已知函数
．

（1）对任意
，比较
与
的大小；

（2）若
时，有
，求实数a的取值范围．

17．（理科）设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.

(1)证明l1与l2相交；

(2)证明l1与l2的交点在定椭圆2x2＋y2＝k（k为常数，k＞0）上．

17．(文科)已知函数
．

（1）判断
的奇偶性；

（2）若
在R上是单调递增函数，求实数a的取值范围．

18．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．

(1)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f(t)；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；

(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)

19.（理科）已知二次函数
的导函数的图像与直线
平行，且
在
处取得极小值
．设
．

（1）若曲线
上的点
到点
的距离的最小值为
，求
的值；

（2）
如何取值时，函数
存在零点，并求出零点．

19.(文科)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于
.

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

20．已知a＞0，函数f(x)＝x2+a|lnx-1|

（1）当a＝2时，求函数f(x)的单调增区间；

（2）若x∈[1,+时，不等式f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围。

命题:高二数学备课组

高二数学月考试卷答题纸 2013.5

填空题：

1． 2． 3． 4．

5． 6． 7． 8．

9． 10． 11． 12．

13． 14．

二、解答题

15．

16．

17．

18．

19．

请将20题做在反面

扬州中学高二数学理科月考试卷 2013.5.30

第Ⅱ卷

1. 已知等式
，

其中ai（i=0，1，2，…，10）为实常数．

求：（1）
的值；

（2）
的值．（注
）

2. 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．

（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；

（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为
，求随机变量
的期望
．

3. 如图，在三棱柱
中，
，
，且
．

（1）求棱
与BC所成的角的大小；

（2）在棱
上确定一点P，使二面角
的平面角的余弦值为
．

4.已知数列
满足：
.

（1）用数学归纳法证明：
使
；

（2）求
的末位数字．

江苏省扬州中学2012—2013学年第二学期月考考试

高二数学试卷 2013.5

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．
2． -  3．充分不必要 4． 

5．
6.  7.（－∞，－1）∪（1，+∞） 8.

9.  10.
11.
12． (1,2)

13.③ 14. ①②④

二、解答题（本大题共6道题，共计90分，其中17,19题文理分题，请考生选择相应题目解答）

15.证明：（1）
，
，由
，得
，代入
得：
，即
，且
，即
．

（2）
，又
，
．则f(x)在区间
，
内各有一个，故在
内有2个实根．

16．解：（1）对任意
，

，

故
．

（2）又
，得
，即
，

得
，解得
．

17．（理科）证明： (1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，有k1＝k2，

代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0.

这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．

(2)由方程组解得交点P的坐标(x，y)为

从而2x2＋y2＝22＋2

＝＝＝1，

此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．

17．(文科)解：（1）定义域为R，则
，故
是奇函数．

（2）设
，
，

当
时，得
，即
；

当
时，得
，即
；

综上，实数a的取值范围是
．

18．解：(1)由图一可得市场售价与时间的函数关系为

由图二可得种植成本与时间的函数关系为

g(t)=
(t－150)2+100，0≤t≤300．

(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得

h(t)=f(t)－g(t)，

即

当0≤t≤200时，配方整理得

h(t)=－
(t－50)2+100，

所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；

当200

所以，当t=300时，h(t)取得区间（200，300]上的最大值87.5．

综上:由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大

19.（理科）解：（1）依题可设
(
)，

则
；

又
的图像与直线
平行
，

，
，

设
，则

当且仅当
时，
取得最小值，即
取得最小值

当
时，
解得

当
时，
解得

（2）由
(
)，得

当
时，方程
有一解
，函数
有一零点
；

当
时，方程
有二解
，

若
，
，

函数
有两个零点
，即
；

若
，
，

函数
有两个零点
，即
；

当
时，方程
有一解
,
,

函数
有一零点

综上，当
时, 函数
有一零点
；

当
(
)，或
（
）时，

函数
有两个零点
；

当
时，函数
有一零点
.

19.(文科)（1）解：因为点B与A
关于原点
对称，所以点
得坐标为
.

设点
的坐标为

由题意得

化简得
.

故动点
的轨迹方程为

（2）解法一：设点
的坐标为
，点
，
得坐标分别为
,
.

则直线
的方程为
，直线
的方程为

令
得
，
.

于是
得面积

又直线
的方程为
，
，

点
到直线
的距离
.

于是
的面积

当
时，得

又
，

所以
=
，解得
。

因为
，所以

故存在点
使得
与
的面积相等，此时点
的坐标为
.

解法二：若存在点
使得
与
的面积相等，设点
的坐标为

则
.

因为
,所以
，所以

即
，解得

，因为
，所以

故存在点
S使得
与
的面积相等，此时点
的坐标为
.

20．解：（1）f(x)＝x2+2|lnx-1|＝

当0＜x≤e时，f((x)＝2x- ＝＞0，所以(1，e]递增；

当x＞e时，f((x)＝2x+ ＞0，所以[e,+递增.

所以f(x)的增区间为（1，+∞）

（2）即求x∈[1,+时，使函数f(x)的最小值f(x)min≥a成立，求a的取值范围，

(i)由（1）可知当x≥e时，f(x)在[e,+递增，所以f(x)≥f(e)＝e2

(ii)当1≤x＜e, f(x)＝x2-alnx+a，f((x)＝2x- ＝

①当≤1，即0＜a≤2，f((x)＞0，f(x)在[1，e]递增

所以f(x)min＝f(1)＝1+a＜f(e)＝e2

②当≤1，即2＜a≤2e2，在[1，]上，f((x)＜0，f(x)递减；在[，e]上，f((x)＞0，f(x)递增，所以f(x)min＝f()＝-ln＜f(e)＝e2

③当≥e，即a≥2e2，f((x)<0，f(x)在[1，e]递减

所以f(x)min＝f(e)＝e2

综合（1）（2）得f(x) min＝

所以f(x)min≥a成立，可以解得0＜a≤2e

第Ⅱ卷答案

1. 解：（1）在
中，令
，得
．……………………………2分

令
，得
． …………………4分

所以
． ……………………5分

（2）等式

两边对x求导，得

．………7分

在
中，

令x=0，整理，得
．…………10分

2. 解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件
、
、
；
表示事件“恰有一人通过笔试” 则

--------------------------5分

（2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为
，

所以
，故
．------------10分

解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件
，

则
所以
，

，
．

于是，
．

3. 【解】（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

则
，
，
．
，

故
与棱BC所成的角是
． ………………………4分

（2）

设
，则
．

设平面
的法向量为n1
，
，

则

故n1
而平面