命题：高二数学组 时间：120分钟 满分：150分

第I卷（选择题、填空题共75分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目
要求的，请把正确选项的序号填在答题卡上）

1. 若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B”={4}的（ ）.

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要
条件 （D）既不充分也不必要条件

2．若点
，
，当
取最小值时，
的值等于（ ）．

A．
B．
C．
D．

3．若直线
始终平分圆
的周长，

则
的最小值为（ ）
．

A．

B．
C．
D．

4．设
、
是不同的两条直线，
、
是不同的两个平面，分析下列命题，其中

正确的是（ ）．

A．
，
，
B．
∥
，
，
∥

C．
，
，
∥
D．
，
，

5．已知
为抛物线
上一个动点，直线
：
，
：
，则
到直线
、
的距离之和的最小值为 ( ).[来源:Zxxk.Com]

A．
B．
C．
D．

6. 设长方体的三条棱长分别为

、
、
，若长方体所有棱长度之和为
，一条对角线长度为
，体积为
，则
等于( ).[来源:学§科§网]

A.
B.
C.
D.

7．θ是第三象限角，方程x2+y 2sinθ=cosθ表示的曲线是（ ）.

A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆

C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线

8. 若点O和点F分别为椭圆
的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则
·
的
最大值为（
）.

A .2 B .3
C .6 D .8

9．已知四棱锥底面四边形中顺次三个内角的大小
之比为
，此棱锥的侧棱与底面所成的角相等，则底面四边形的最小角是（ ）．

A．
B．
C．
D．无法确定的

10.已知
分别是双曲线
的两个焦点，
和
是以
(
为坐标原点)为圆心，
为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且
是等边三角形，则双曲线的离心率为( )

A.

B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将
正确答案直接填入Ⅱ卷相应题号的横线上）

11．双曲线
＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 ．

12. 若不等式|x-m|＜1成立的充分不必要条件是
＜x＜
，则实数m的取值范围是 .

13. 已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于 ．

14. 已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上。小明从曲线C1，C2上各取若干个点（每条曲线上至少取两个点），并记录其坐标（x，y）。由于记录失误，使得其中恰好有一个点既不在椭圆上C1上，也不在抛物线C2上。小明的记录如下
：

X

-2

-

0

2

2

3



Y

2

0



-2



-2





据此，可推断椭圆C1的方程为 .

15.下列命题：

①命题“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件；

②“am2

③“矩形的两条对角线相等”的否命题为假；

④在
中，“
”是
三个角成等差数列的充要条件；

⑤
中,若
,则
为直角三角形.

判断错误的有___________.

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. (本题满分12分) 已知命题p:“
”，

命题q:“
”若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.

17. (本题满分12分)如图，矩形
中，
，
，
为
上的点，且
，AC、BD交于点G.

（1）求证：
；

（2）求证；
；

（3）求三棱锥
的体积.

18. (本题满分12分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
（其中O为原点）. 求k的取值范围.

19. (本题满分12分) 已知四棱锥P-ABCD的直观图（如图(1)）及左视图（如图(2)），底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB。

(1)求证：AD⊥PB；

(2)求异面直线PD与AB所成角的余弦值；

(3)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小.

20. (本题满分13分)在直角坐标系中，射线OA: x－y=0（x≥0），

OB
: x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA、OB于A、B两点.

（1）当AB中点为P时，求直线AB的方程；

（2）当AB中点在直线
上时，求直线AB的方程.

[来源:Z_xx_k.Com]

21. (本题满分14分) 已知椭圆
：
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设
，
、
是椭圆
上关于
轴对称的任意两个不同的点，连结
交椭圆
于另一点
，求直线
的斜率的取值范围；

(3)在(2)的条件下，证明直线
与
轴相交于定点．

定远二中2012～2013学年度下学期高二第三次月考

数学（理）试卷参考答案

选择题：ACBBA ADCBD

二．填空题：11.
12.
≤m≤
13.
14.
+
=1 15. ②⑤

三．解答题：

16.
提示： 由命题“p且q”是真命题可知命题p与命题q都成立.则有
，可解得

18．解：（Ⅰ）设双曲线方程为

由已知得
[来源:学科网ZXXK]

故双曲线C的方程为
……….4分

（Ⅱ）将

由直线l与双曲线交于不同的两点得

即
①……………6分

设
，则

而

………8分

于是

②……………10分

由①、②得

故k的取值范围为
…………12分

19．解：⑴取AB的中点O，连接PO，因为PA=PB，则PO⊥AB，

又∵ 平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO
平面PAB，

∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AD，…………2分

而AD⊥AB，PO∩AB=O，

∴AD⊥平面PAB，

∴AD⊥PB。…………4分

⑵过O作AD的平行线为x轴，以OB、OP所在直线分别为y、z轴，建立如图10的空间直角坐标系，则A（0，-1，0），D（2，-1，0），B（0，1，0），C（2，1，0），

=（2，-1，-2），
=（0，2，0），cos＜
，
＞=
=-
，

即异面
直线PD与AB所成角的余弦值为
。…………8分

⑶易得平面PAB的一个法向量为n=（1，0 ，0）。[来源:Zxxk.Com]

设平面PCD的一个法向量为m=（x，y，z），由⑵知
=（2，-1，-2），
=（0，-2，0），则
，即
，解得x=z，

令x=1，则m=（1，0，1），……….10分

则cos＜n，m＞=
=
，

即平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小为
。…………..12分

（2）①当直线
的斜率不存在时，则
的方程为
，易知
两点的坐标分别为
所以
的中点坐标为
，显然不在直线
上,

即
的斜率不存在时不满足条件. ……….8分

②当直线
的斜率存在时，记为
，易知
且
，则直线
的方程为

分别联立
及

可求得
两点的坐标分别为

所以
的中点坐标为
……….10分

又
的中点在直线
上,所以
解得

所以直线
的方程为
，即
…………13分

21.解：解：⑴由题意知
，所以
，即
，又因为
，所以
，故椭圆
的方程为
：
．………4分