福州文博中学2012-2013学年高二下学期期中数学理试题

（完卷时间：120分钟，总分：150分）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）

1、一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为
，则t=2时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）

A、2 B、1 C、
D、

2、函数
的导数为（ ）

A、
B、
C、
D、

3、利用定积分的几何意义，可求得
=（ ）

A、
B、
C、
D、

4、在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ）

A、30° B、45° C、60° D、90°

5、函数
的单调递减区间是（ ）

A、
B、

C、
D、

6、函数
的极值点的个数为（ ）

A、0 B、1 C、2 D、3

7、函数f(x)的导函数f’(x)的图象如右图所示，则f(x)的图象可能是（ ）

8、已知三棱锥O-ABC，点G是△ABC的重心。设
，
，
，那么向量
用基底{
，
，
}可以表示为（ ）

A、
B、
C、
D、

9、给出下列五个命题：

①长度相等、方向不同的向量叫做相反向量；

②设
是同一平面内的两个不共线向量，则对于这个平面内的任意一个向量
，有且只有一对实数
，使得
；

③
的充要条件是存在唯一的实数
，使得
；

④
；

⑤
.

其中正确命题的个数是（ ）

A、2 B、3 C、4 D、以上都不对

10、f(x)是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足xf’(x)+f(x)≤0，对于任意正实数a、b，若a

A、af(b)≤bf(a) B、bf(a)≤af(b)

C、af(a)≤f(b) D、bf(b)≤f(a)

二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在答题卡上的相应题目的答题区域内作答）

11、已知向量
与向量
平行，则x+y= ．

12、函数
在点(0，1)的切线方程为 ．

13、直线
与抛物线
所围成的图形的面积为 ．

14、若函数
在定义域上单调递增，则a的取值范围是 　　　 ．

15、如图，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高是_________．

三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16、（本题满分13分）已知x =1是函数
的一个极值点.

(1) 求函数f (x)的解析式；

(2) 若曲线y = f (x)与直线y=2x+m有三个交点，求实数m的取值范围.

17、（本题满分13分）已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形．AA1=2，∠A1AB=∠A1AD=120°．

(1) 求线段AC1的长；

(2) 求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值.

18、（本题满分13分）已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=
AB，N为AB上一点，AB = 4 AN，M、S分别为PB、BC的中点.

(1) 证明：CM⊥SN；

(2) 求SN与平面CMN所成角的大小.

19、（本题满分13分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量
（单位：千克）与销售价格
（单位：元/千克）满足关系式
，其中3<
<6，
为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.

（1）求
的值；

（2）若该商品的成本价为3元/千克，试确定销售价格
的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

20、（本题满分14分）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的
倍，P为侧棱SD上的点.

(1) 求证：AC⊥SD；

(2) 若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；

(3) 在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE:EC的值；若不存在，试说明理由.

21、（本题满分14分）已知定义在正实数集上的函数
，
，其中
．设两曲线
，
有公共点，且在该点处的切线相同．

（I）用
表示
，并求
的最大值；

（II）求证：
（
）．

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