福建省福州八县（市）一中2012-2013学年高二下学期期中联考

数学理试题

命 题：平潭一中 魏 雄 复 核：念家桃 游文杰

完卷时间：120分钟 满 分：150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1、
则
=（ ）

A、1 B、
C、-1 D、0

2、若i为虚数单位，m，n
R，且
=n+i 则mn=（ ）

A、-2 B、1 C、2 D、3

3、有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数
，如果
，那么
是函数
的极值点；因为函数
在
处的导数值
，所以，
是函数
的极值点.以上推理中（ ）

A、大前提错误 B、小前提错误 C、推理形式错误 D、结论正确

4、定积分
（ ）

A、
B、1 C、
D、

5、一物体的运动方程为s＝sin2t＋3t+1，则它的速度方程为(　　)

A、v＝2cos2t＋3 B、v＝2sin2t +3

C、v＝-2cos2t＋3 D、v＝2cos2t＋3t+1

6、用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等

式(　　)

A、1＋<2　　　　　　 B、1＋＋＜3

C、1＋＋＋＜3 D、1＋＋＜2

7、若
，
，
，则p、q的大

小关系是（ ）

A、
B、
C、
D、由
的取值确定

8、函数
在R上的极值点有（ ）

A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

9、有一串彩旗，▼代表蓝色，▽代表黄色。两种彩旗排成一行如下所示：

▽▼▽▼▼▽▼▼▼▽▼▽▼▼▽▼▼▼▽▼▽▼▼▽▼▼▼…

那么在前200个彩旗中有（ ）个黄旗。

A、111 B、89 C、133 D、67

10、下面给出了四个类比推理：

（1）由“若
则
”类比推出“若
为三个向量则
”

（2）“a,b为实数，
则a=b=0”类比推出“
为复数，若
”

（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”

（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”。

上述四个推理中，结论正确的个数有（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

11、已知在R上可导的函数
的图象如图所示，则不等式
的解集为(　 )。

A、

B、

C、

D、

12、若函数
的图像

经过四个象限，则实数
的取值范围是（ ）

A、
B、
或
C、
或
D、

二、填空题（本大题共4小题,每小题4分，共16分）

13、复数z＝i(i＋1) (i为虚数单位) 的共轭复数
=

14、曲线
与
所围成的封闭图形的面积s=

15、两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin＋sin＝0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为__________．

16、下列四个命题中正确的有_______（填上所有正确命题的序号）

①若实数
满足
，则
中至少有一个不小于1

②若
为复数，且
=1，则
的最大值等于2

③

④定积分

三、解答题（17~21每小题12分，22题14分，共74分）

17、（本小题12分）已知函数
，求函数
的单调区间和极值

18、（本小题12分）已知复数
在复平面内对应的点分别为
，

（1）若

（2）复数
对应的点在二、四象限的角平分线上，求a的值。

19、（本小题12分）观察以下5个等式：

-1=-1

-1+3=2

-1+3-5=-3

-1+3-5+7=4

-1+3-5+7-9=-5

……

照以上式子规律：

写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）

用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立。（n∈N*）

20、（本小题12分）近年来，福建省大力推进海峡西岸经济区建设，福州作为省会城市，在发展过程中，交通状况一直倍受有关部门的关注，据有关统计数据显示上午6点到10点，车辆通过福州市区二环路某一路段的用时y（分钟）与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：

求上午6点到10点，通过该路段用时最多的时刻。

21、（本小题12分）已知三次函数
过点（3,0），且函数f(x)在点（0，f（0））处的切线恰好是直线y=0。

（1）求函数
的解析式；

（2）设函数g（x）=9x+m-1，若函数y=f(x)-g(x)在区间［-2，1］上有两个零点，

求实数m的取值范围。

22.（本小题14分）已知函数

（1）若
，求函数
在区间
的最小值；

（2）若
讨论函数
在
的单调性；

（3）若对于任意的
求

的取值范围。

2012-2013学年度第二学期八县（市）一中期中联考

高二数学（理科）试卷答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

A

B

A

D

C

C

D

B

B

D



13、
14、

18.解：（1）由复数的几何意义可知：

……………………………………………（2分）

………（4分）

……………………………………………… …（6分）

（2）
…………………………（9分）

依题意可知点
在直线
上

∴
……………………………………………（12分）

19.（本小题12分）

解：（1）第6个等式为-1+3-5+7-9+11=6 ………………（2分）

第n个等式为 -1+3-5+7-9+……+（-1）n（2n-1）=（-1）nn……（4分）

（2）下面用数学归纳法给予证明：-1+3-5+7-9+……+（-1）n （2n-1）=（-1）nn

（1）当
时，由已知得原式成立； ……………………………………（5分）

（2）假设当
时，原式成立，

即-1+3-5+7-9+……+（-1）k （2k-1）=（-1）kk…………………（6分）

那么，当
时，

-1+3-5+7-9+……+（-1）k （2k-1）+（-1）k+1 （2k+1）

=（-1）kk+（-1）k+1 （2k+1）

=（-1）k+1（-k+2k+1）

=（-1）k+1 (k+1)

21.解：（1）
………………………………………………（1分）

函数f(x)在点（0，f（0））处的切线恰好是y=0，所以有

∴b=-3

∴
……………………………………………………………………（6分）

22.解：（1）

综上所述：

（3）

构造函数