广州六中2012-2013学年高二上学期期末考试试题（数学理）

（本试卷共20小题，满分150分。考试用时120分钟）

第一部分 选择题 (共40分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设全集
，集合
，

，则图中的阴影部分表示的集合为 （ ）

A．
B．
C．
D．

2．
,则下列不等式成立的是 （　　）

A．
B．
C．
D．

3. 一批灯泡400只，其中20 W、40 W、60 W的数目之比为4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为（ ）

A．20 ,10 , 10 B.15 , 20 , 5 C .20, 5, 15 D.20, 15, 5

4. 已知等比数列
的公比为正数，且
=
，
=1，则
= （　　）

A.
B.
C.
D.2

5.如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么几何体的体积为 （　　）

A．
B．

　C． 1 D．

6、向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系如下图

所示,那么水瓶的形状是( )

7．把函数
的图象向左平移
个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的解析式为 （　　）

A．
B．
C．
D．

8．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （　　）

A．[1,2] B．(1,2) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)

第二部分 非选择题 (共110分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．已知程序框图如右，则输出的
= ．

10．命题“
”的否定是 ．

11.曲线
在点
处的切线方程是 ．

12．向面积为
的三角形
内任投一点
，则△
的面积小于
的概率是　 　．

13．函数
的单调增区间为 ．

14．已知抛物线
的焦点为
，准线与
轴的交点为
，点
在
上且
，则
的面积为

三、解答题：本大题共6小题，共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分12分）

△ABC的三个内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，已知c=3，C=60°。

（1）若A=75°，求b的值；（2）若a=2 b, 求b的值。

16.（本题满分12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号n

1

2

3

4

5



成绩xn

70

76

72

70

72



(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；

(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．

17.（本小题满分14分）已知函数
的定义域为
，

的定义域为
.

（1）求
.

(2)记

，若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围。

18．（本小题共14分）

如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，且
，
，侧面
底面
. 若
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）侧棱
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，指出点
的位置并证明，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值.

19、（本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，点
到两点
，
的距离之和等于4，设点
的轨迹为
．

（Ⅰ）写出
的方程；

（Ⅱ）设直线
与
交于
两点．k为何值时


？此时
的值是多少？

20．（本小题满分14分）

（1）求证：
是等比数列，并求出
的通项公式；

（2）
，
，

广州六中2012-2013学年高二上学期期末考试（数学理）答案

一、选择题：

1

2

3

4

5

6

7

8



B

D

D

C

A

C

B

C





二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分

9． 9 ．

14.8

三、解答题：本大题共6小题，共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．解：（1）由
，得
……………………………2分

由正弦定理知
，……………………………………3分

………………………………………………………6分

（2）由余弦定理知
， ……………………………………8分

代入上式得

……………………………………………10分

…………………………………………12分

16.解　(1)∵这6位同学的平均成绩为75分，∴(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90，…..3分

这6位同学成绩的方差

s2＝×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s＝7. …..6分

(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，…………………………………………………….. 9分

恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为＝0.4， ……………………11分

即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4. ……………………12分

17. 解：（1）要使
有意义，则
， 2分

化简整理得
，解得
5分

6分

(2)要使
有意义，则
即

又


8分

是
的必要不充分条件，
是
的真子集， ks5u 10分

解得
ks5u 13分

的取值范围为
. 14分

18． 解法一：

（Ⅰ）因为
，所以
.

又因为侧面
底面
，且侧面
底面
，所以
底面
.而
底面
，所以

. …………2分

在底面
中，因为
，
，

所以
， 所以

.

又因为
， 所以
平面
. ……………………………4分

（Ⅱ）在
上存在中点
，使得
平面
，

证明如下：设
的中点是
， 连结
，
，
，则
，且
. 由已知
，所以
. 又
，所以
，且
，

所以四边形
为平行四边形，所以
.

因为
平面
，
平面
，

所以
平面
. ……………8分

（Ⅲ）设
为
中点，连结
，

则

.又因为平面
平面
，

所以
平面
.过
作
于
，

连结
，则
，所以

所以
是二面角
的平面角.

设
，则
,
.在
中，由相似三角形可得：
，所以
.所以
，
.即二面角
的余弦值为
. ………………………14分

解法二：因为
，所以
.

又因为侧面
底面
，

且侧面
底面
，所以
底面
..又因为
，所以
，
，
两两垂直.分别以
，
，
为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，如图.设
，则
，
，
，
，
.

（Ⅰ）
，
，
,

可得
，
，所以

，

.

又因为
， 所以
平面
. ………………………………4分

（Ⅱ）设侧棱
的中点是
， 则
，
.

设平面
的一个法向量是
，则

因为
，
，所以
取
，则
.

所以
， 所以
.

因为
平面
，所以
平面
. ………………………………8分

（Ⅲ）由已知，
平面
，所以
为平面
的一个法向量.

由（Ⅱ）知，
为平面
的一个法向量.

设二面角
的大小为
，由图可知，
为锐角，

所以
.即二面角
的余弦值为
. ……14分

19. 解：（Ⅰ）设
（x，y），由椭圆定义可知，点
的轨迹
是以
为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴
，故曲线
的方程为
．…………4分

（Ⅱ）设
，其坐标满足

消去y并整理得
， 显然△＞0--------6分

故
．………………………………… 7分

，即要
． 而
，………8分

于是
．

所以
时，
，故
．…………………………10分

当
时，
，
．

，………12分

而

，所以
． ……………14分

20． 【证明】（1）由题设
，………… 2分

所以数列
是以2为首项，公比为2的等比数列，………… 4分

所以
即
…………6分

（2）∵
，…………7分

∴
………………① …………8分

解法一：2
…………………②

②－①得：

……… 14分

解法二：先验证
时
，…… 8分
…… 10分

∴

……… 14分