涡阳四中2012-2013学年高二下学期第一次（4月）质量检测数学（文）试题（课改部）

一、选择题(本题共10小题，每题5分，共50分)

1. 函数
的导数是( )

A.
B.
C.
D.

2.曲线
在点
处的切线方程为 （ ）

A．
B．
C．
D．

3.若
的焦点与
的右焦点重合，则
( ）

A.－2 B.2 C.－4 D.4

4．双曲线
的焦距等于（ ）

A.
B. 2 C.7 D. 10

5.
的导函数图象如图所示，则
的增区间为( )

A.
B.
C.
D.

6．“
”是“方程
表示双曲线”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7. 函数
的单调递减区间是（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 设抛物线
上一点P到
轴的距离为4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）

A.4 B.6 C.8 D.12

9. 已知函数
在
上单调，则实数a的取值范围是( )

A.
B.
C.
或
D.

10．设椭圆的两个焦点分别为
，过
作椭圆长轴的垂线交椭圆于点
，若
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （　 ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）

11. 已知曲线
的一条切线的斜率为
，则切点的横坐标为___________ .

12.函数
在
上的最大值是____________.

13.函数
的单调递减区间 .

14.已知双曲线
的左右顶点分别是
，点
是双曲线上异于点
的任意一点。若直线
的斜率之积等于2，则该双曲线的离心率等于 .

15．下列命题

①命题“若
，则
”的逆否命题是“若
，则
”.

②命题

③若
为真命题，则
均为真命题.

④“
”是“
”的充分不必要条件.

其中真命题有__________（你认为正确的序号）.

三．解答题 （本题共6小题，共75分）

16．（本小题满分12分）

在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动。

（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；

（2）判断性别与休闲方式是否有关系。

参考公式：
其中

附：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





17.(本小题满分12分) 已知
为实数，
，

（1）若
，求导数

（2）若
，求
在[－2，2] 上的最大值和最小值。

18.(本小题满分12分）

设函数
.

（Ⅰ）若曲线
在点（2，f(2)）处与直线
相切，求
的值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间.

19.（本小题满分12分）

已知椭圆
的右焦点
与抛物线
的焦点重合，左顶点为

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆
的右焦点且斜率为
的直线
被椭圆
截的弦长
。

20. （本小题满分13分） 如图，已知直线l与抛物线y2 = x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴相交于点M，若y1y2 = －1，

（1）求证：OA⊥OB；

（2）M点的坐标为（1，0），求△AOB的面积的最小值.

21. （本小题满分14分）

已知椭圆C的长轴长为
，一个焦点的坐标为(1,0)．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．

（ⅰ）若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；

（ⅱ）若直线AP，BP的斜率分别为
，
，求证：
为定值．

涡阳四中2012-2013学年高二第四次质量检测

（课改文）数学答案

一，选择题

17. (12分 解：（1）当
时，

（6分）

（2）
∴

由
得
,所以

，令
得
或x=-1

列表格，或者讨论单调性，求出极值。再比较端点值。

又

所以f(x)在[－2,2]上的最大值为
最小值为
（12分）

18. (12分解：（Ⅰ）
,…………. …………2分

∵曲线
在点
处与直线
相切，

∴
…………. …………6分

（Ⅱ）∵
,

根据
时，由
，当
时，
，函数
单调递增，当
时，
，函数
单调递减当
时，
，函数
单调递增…………. …………12分

19. (12分

20. (13分) (1) 设M点的坐标为（x0, 0）, 直线l方程为 x = my + x0 , 代入y2 = x得 y2－my－x0 = 0 ① y1、y2是此方程的两根,

∴ x0 ＝－y1y2 ＝1，即M点的坐标为（1, 0）.

∵ y1y2 ＝－1

∴ x1x2 + y1y2 = y12y22 +y1y2 ＝y1y2 (y1y2 +1) = 0 ∴ OA⊥OB.

(2) 由方程①，y1＋y2 = m , y1y2 ＝－1 , 且 | OM | = x0 =1,

于是S△AOB =
| OM | |y1－y2| =
=
≥1，

∴ 当m = 0时，△AOB的面积取最小值1.

（ⅱ）
　　消去
得
　　

定值