涡阳四中2012-2013学年高二(下)第四次质量检测

数 学 试 题（普通部理科）

2013年4月

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分,考试时间120分钟.注意事项：将试题答案写在答题卷上，在本试卷上作答无效。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数
的导数
（ ）

A．
B．2
C．
D．

2．设函数
可导，则
等于（ ）．

A．
B．
C．
D．以上都不对

3．函数
的单调递减区间为( )

（A）（
1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞） （D）（0，+∞）

4. 曲线
在点
处的切线平行于直线
，则点
的坐标是（ ）

A．(0,1) B．(1,0) C．(-1,-4)或（1,0） D．(-1,-4)

5．观察式子：
，
，
，…，则可归纳出式子为（ ）

A．
B.

C.
D.

6. 设p:f(x)=x3+2x2+mx+1在（-∞，+∞）内单调递增，q:m≥
,则p是q的 （ ）

A,充分不必要条件 B，必要不充分条件

C，充分必要条件 D，既不充分也不必要条件

7．用数学归纳法证明等式
时，验证
，左边应取的项是 (　　)

A．
B．
C．
D．

8.已知函数
的图象在点
处的切线的斜率为3，数列
的前
项和为
,则
的值为 （ ）

9．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是 (　　)

A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)

10.已知函数
的图象如图(1)所示(其中
是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　 　)

第Ⅱ卷（非选择题 共100分)

二.填空题:共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．

11．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝_______.

12.已知
,则
_______

13.曲线
上的 点到直线
的最短距离是 _______

14. 在
中，两直角边分别为
、
，设
为斜边上的高，则
，由此类比：三棱锥
中的三条侧棱
、
、
两两垂直，且长度分别为
、
、
，设棱锥底面
上的高为
，则　　　　　　　　　　　　．

15.已知函数
，下列说法中正确的有___________.

（1）
在R上有两个极值点； （2）
在
处取得最大值；

（3）
在
处取得最小值； （4）
在
处取得极小值

（5）函数
在R上有三个不同的零点

三、解答题:本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

16.（本题满分12分) 已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）求函数
在
上的最大值和最小值.

（本小题满分12分） 已知函数
．

（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）直线
为曲线
的切线，且经过原点，求直线
的方程及切点坐标．

18.（本小题满分12分） 已知数列
满足
且

（Ⅰ）计算
的值；

（Ⅱ）由此猜想数列
的通项公式，并给出证明.

19.(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c.

(Ⅰ)若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，求b的取值范围；

(Ⅱ)若f(x)在x＝1处取得极值，且x∈[－1,2]时，f(x)

20. （本小题满分13分） 一艘轮船在航行过程中的燃料费与它的速度的立方成正比例关系，其他与速度无关的费用每小时96元，已知在速度为每小时10公里时，每小时的燃料费是6元，要使行驶1公里所需的费用总和最小，这艘轮船的速度应确定为每小时多少公里？

21．（本小题满分14分）已知函数
。

(Ⅰ)若
在
处取得极值，求
的值；

(Ⅱ)求
的单调区间；

(III)若
且
，函数
，若对于
，总存在
使得
，求实数
的取值范围

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数学试题（理科）参考答案（普通）

三．解答题

16．（本小题满分14分）

解：(1)
. ------------------------------------------------- 2分

令
, ------------------------------------------------4分

解此不等式，得
.

因此，函数
的单调增区间为
.------------------6分

(2) 令
,得
或
.----------------------------------------8分

当
变化时，
，
变化状态如下表：

-2



-1



1



2







+

0

-

0

+







-1



11



-1



11



 -------------------------------------------10分

从表中可以看出，当
时，函数
取得最小值
.

当
时，函数
取得最大值11.-----------------------------12分

17.解：（1）

在点
处的切线的斜率
，

切线的方程为
；------------------------5分

（2）设切点为
，则直线
的斜率为
，

直线
的方程为：
．

又直线
过点
，

，

整理，得
，
，

，

的斜率
，
直线
的方程为
，切点坐标为
．----------------------------12分

19.解：　(1)f′(x)＝3x2－x＋b，因f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，则f′(x)≥0，即3x2－x＋b≥0，

∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)上恒成立．

设g(x)＝x－3x2.

当x＝时，g(x)max＝，∴b≥.----------------------------5分

（2)由题意知f′(1)＝0，即3－1＋b＝0，∴b＝－2.

x∈[－1,2]时，f(x)

f＝＋c，f(－1)＝＋c，

f(2)＝2＋c.

∴f(x)max＝f(2)＝2＋c，∴2＋c2或c<－1，所以c的取值范围为(－∞，

－1)∪(2，＋∞)．----------------------------12分

21.（本小题14分）

解：（1）

…………4

（2）

若

…………………6

若
或
（舍去）











－

0

＋















…………………9