北大附中河南分校焦作校区高一期中考试数学试卷

本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．

注意考试前，考生须将班级、姓名、学号等信息填写在答题纸的规定位置，解答本试卷时请将答案写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上的答案一律不予评分．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知角终边上一点M的坐标为
，则
=_________________.

2．已知扇形的圆心角为3弧度，扇形所在圆的半径为2，则该扇形的面积为 ．

3．若
，则
。

4．若
，则
____________．

5．设函数
的反函数为
，则方程
的解是_____________．

6．若
,则的取值范围是 .

7．函数
的定义域为 ．

8．在R+上定义一种运算“*”：对于、
(R+，有*
=
，

则方程*=
的解是= 。

9．设
的值是 。

10．在△ABC中，角
对边分别为
，
，则角的值为 .

11．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级量度可定义为
则日本9.0级地震和汶川8.0级地震的相对能量的比值
．（精确到整数）

12．若函数
在区间
上的最大值是最小值的2倍，则的值为 。

13．如果关于的不等式
和
的解集分别为
和
，那么称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式
与不等式
为对偶不等式，且
，那么
______________．

14．设常数
，以方程
的根的可能个数为元素的集合
．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．若A，B为锐角三角形ABC的两个内角，则点P(sinA-cosB，cosA-sinB)位于( )

A．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限

16．若
，则
的最小值为 （ ）

A.－4； B. 8； C. －8； D. 4．

17．函数
的图像大致为 ( )

18．若△
的三个内角满足
，则△
( )

A一定是锐角三角形. B一定是直角三角形.

C一定是钝角三角形. D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）

已知
，求（1）
；（2）

20．（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分．

已知函数

（1）证明：
在
上为增函数； （2）证明：方程
＝0没有负数根。

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=
。

该小组已经测得一组、
的值，tan=1.24，tan
=1.20，请据此算出H的值；

该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与
之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时， -
最大？

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

我们给出如下定义：对函数
，若存在常数
（
），对任意的
，存在唯一的
，使得
，则称函数
为“和谐函数”，称常数
为函数
的 “和谐数”.

（Ⅰ）判断函数
是否为“和谐函数”？答： . 是（填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”： .

（Ⅱ）请先学习下面的证明方法：

证明：函数
，
为“和谐函数”，
是其“和谐数”；

证明过程如下：对任意
，令
，即
，

得
.∵
，∴
.

即对任意
，存在唯一的
，使得
.

∴
为“和谐函数”，其“和谐数”为
.

参照上述证明过程证明：函数
为“和谐函数”，是其“和谐数”；

[证明]：

（III）判断函数
是否为和谐函数，并作出证明.

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．

已知函数
（
）为偶函数．

（1）求常数
的值；

（2）当取何值时函数
的值最小？并求出
的最小值；

（3）设
（
），试根据实数的取值，讨论函数
与
的图像的公共点个数．

参考答案：

1、
2、
3、
4、
5、-2 6、
7、
8、

9、
10、
11、32 12、2 13、
14、

15-18：D B B C

19、解：依题意：
-----------------2分

（1）原式=
------------------6分

（2）原式=
---------------------12分

20、证明：（1）设
，
，

，
在
上为增函数。---------6分

（2）设
，则
，

由
＝0，必须
，则
，与
矛盾。

所以方程
＝0没有负数根。---------------14分

(解法二：设
，则
，
，则
,故方程
＝0没有负数根。)

21、解：

（1）
，

同理：
，
。-----------------------4分

AD—AB=DB，故得
，----------------------6分

解得：
。

因此，算出的电视塔的高度H是124m。-----------------------------7分

（2）由题设知
，得
，-----------9分

----11分

，（当且仅当
时取等号）

故当
时，
最大。------------------13分

因为
，则
，所以当
时， -
最大。

故所求的
是
m。-------------------14分

22、解： (1)是，C=2--------------------4分

（2）对任意
，令
，即
，得
，----6分

.∵
，∴
，
.

即对任意
，存在唯一的
，使得
. ---8分

∴
为“和谐函数”，是其“和谐数”. ----------------------10分

（3）对任意的常数
，

ⅰ)若
，则对于
，显然不存在
，使得
成立，

所以

不是函数
的和谐数；-------------------------13分

ⅱ) 若
，则对于
，由
得，
，

即不存在
，使
成立.

所以

也不是函数
的和谐数. -------------------------15分

综上所述，函数
不是“和谐函数”.-----------------------------16分

{或者借助唯一来否定也可，按步骤酌情给分。}

23、解：（1）∵
为偶函数，

故
对所有
都成立，-------------2分即
对所有
都成立，
．--------------5分

（2）由（1）得
， 即
．--------------7分

，故当且仅当
时，-----10分

的最小值是
．--------------11分

（3）解法1由方程
（）

可变形为
， 由②得
或
，

由①得
，令
，则
，或

则
． -----13分

当
时，
单调递增，∴
，

∴
，此时方程（）有且只有一个解； -------15分

当
时，
，

当
时方程（）有且只有一个解； --------16分

当
时，方程（）有两解；

当
，或
时方程（）无解． ---------------17分

综上所述，当
时，函数
与
的图像有两个不同的公共点；

当
或
时，函数
与
的图像有且只有一个公共点；

当
或
时，函数
与
的图像没有公共点． ------------18分

[解法2：
（）

------------2分
------------3分
------------4分
------------5分

，
，

. ------------7分]