仙游一中2014级高一下学期第二次阶段考试数学试卷

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知实数列
成等比数列,则
=（　A ）

A．
B．
C．
D．

2. 在
中，已知:
，
，
，如果解该三角形有两解，则(D )

A．
B．
C．
D．

3.已知等差数列
的前
项和
，
则数列
的前100项和为(C )

A．
　 B．
C．
D．

4．已知等比数列
中,各项都是正数,且
成等差数列,则
（C）

A．
B．
C．
D．

5．在数列
中，
，则
＝（
）

A．
B．
C．
D．

6. 若
为锐角三角形，则下列式子一定成立的是 （ D ）

A．
B．
C．
D．

7．在△ABC中，与
相等的式子是（ B ）

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
的图象关于直线
=
对称,则函数
的图象关于直线 (C )

A．
=
对称 B．
=
对称 C．
=
对称 D．
=
对称

9．若等差数列
的前
项和为
满足
，则
中最大的项 (D )

A．
B．
C．
D．

10.在
中，若
，则
是D

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

11．已知
的三个内角
满足
，则
（ B ）

A.
B.
C.
D.

12．如图，
所在平面上的点
均满足
与
的面积比为3:1，
（其中，
是首项为1的正项数列），则
等于（A ）

A．31 B．33 C．63 D．65

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

13． 已知
则
．

14． 求和：
______________

15. 设a
R，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝______________．

【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况：

(A)
， 无解；

(B)
， 无解．

因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图)

我们知道：函数y1＝(a－1)x－1，y2＝x 2－ax－1都过定点P(0，1)．

考查函数y1＝(a－1)x－1：令y＝0，得M(
，0)，还可分析得：a＞1；

考查函数y2＝x 2－ax－1：显然过点M(
，0)，代入得：
，解之得：
，舍去
，得答案：
．

【答案】

16.已知
，将数列
的项依次按如图的规律“蛇形排列”成一个金字塔状的三角形数阵，其中第
行有
个项，记第
行从左到右的第
个数为
，如
，

则
（结果用
表示）.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（12分）（12分）在公差为
的等差数列
中，已知
，且
成等比数列。

（1）求
；
（2）若
，求

17.解：（Ⅰ）由已知得到：

；

（Ⅱ）由（1）知，当
时，
，

①当
时，

②当
时，

所以，综上所述：

18.（12分）已知
为坐标原点，向量
，
，
，点
是直线
上的一点，且
.

(1）若
三点共线，求以线段
为邻边的平行四边形的对角线长；

(2）记函数
，
， 试求函数
的值域．

(1）设点
的坐标为
，则
，

∵
，∴

∴点
的坐标为

由
、
、
三点共线知：
,
，

∴
，∵
∴

=
=

=

所以以
为邻边的平行四边形的对角线长分别为

(2）∵
，

=

∵
∴
，所以
，

.∴
的值域为
。

19.（12分）如图是某种可固定在墙上的广告金属支架模型，其中
，
是
的中点，
，设
，且
．

(Ⅰ) 若
，求
的长；

(Ⅱ) 求
的长
，并求
的最小值；

20．解：（Ⅰ）在
中，已知
，
，
，由正弦定理得：

，故
.　 ……………3分

当
时,
＝

故
的长为
．　　　 ……………………5分

（Ⅱ）在
中，已知
，
，
，由余弦定理得：

　　　 ……………………6分

　　　　　　 ……………………10分

因为
，所以
，即

，

则
的最小值为
，此时
=1，即
.　　……………………12分

(用其它方法求出
的表达式及最小值酌情给分)

20. （本小题满分12分）

（Ⅰ）设
证明：

（Ⅱ）
，证明：

解答：由于
所以

．

21.（本小题满分20分）

已知数列
中，
，对于任意的
，有

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

(Ⅱ) 数列
满足：
，求数列
的通项公式；

（III）设
，是否存在实数
，使得当
时，
恒成立.若存在，求实数
的取值范围；若不存在，请说明理由。

22. （10分）某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2015年起，每年年初到银行存入
元，年利率
保持不变，并按复利计算，到2025年年初将所有存款和利息全部取出，共取出多少元？

解：从2015年年初到2016年年初有本利和
元，设从2015年起，第
年年初有本利和
元，第
年年初有本利和
降之变形为

其中

是以
为首项，
为公比的等比数列，于是
即这个家庭到2025年年初本利和可达
元。

思考题

设
是数列
的前
项之积，满足
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求证：
．

解 （1）易知
，
，且由
，得

，即
，即
． ……………（5分）

所以
，故

． ………………………………………（10分）

（2）由（1）得
．

一方面，

；……………（15分）

另一方面，

．

又
．

所以
． ………………………………………（20分）