北京市2014～2015学年度第二学期期中考试高一数学试卷

(考试时间：100分钟 总分：100分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 对于
，下列等式中恒成立的是 （ ）

A．
B.

C.
D.

2.已知向量
，向量
，且
，那么等于 （ ）

A.8 B.7 C.6 D.5

3.下列函数中，在区间
上为减函数的是 （ ）

A.
B.
C.
D.

4.已知
，且
，那么
等于 （ ）

A.
B.
C.
D.

5.已知
若
则点的坐标为 （ ）

A.
B.
C.
D．

6．如果函数
的图像关于点
中心对称，

那么
的一个值可以为 （ ）

A.
B.
C.
D.
7．有下列四种变换方式:

①向左平移
,再将横坐标变为原来的
; ②横坐标变为原来的
,再向左平移
;

③横坐标变为原来的
,再向左平移
; ④向左平移
,再将横坐标变为原来的
;

其中能将正弦曲线
的图像变为
的图像的是 （ ）

A.①和② B.①和③ C．②和③ D．②和④

8．函数
,
在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为 （ ）

A．
B．

C．
D．

9．已知
均为锐角，
，
，则
的值为 （ ）

A．
B.
C．
D．

10．已知动点
，
，
为坐标原点，则当
时，下列说法正确的是 （ ）

A.
有最小值1　　 B．
有最小值，且最小值小于1　

C．
恒成立 D．存在
使得

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

11. 已知
，且
，那么的值等于____________.

12．已知
，
，则
．

13．函数
的图像的相邻两支截直线
所得的线段长为 ．

14．函数
在区间
上的最大值为________,最小值为___________.

15．如图，若
，
，
，则向量
可用
，
表示为___________.

16．关于函数
，有下面四个结论：

①
是偶函数； ②无论取何值时，
恒成立；

③
的最大值是
； ④
的最小值是
.

其中正确的结论是__________________.

三、解答题：本大题共4小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题共9分）

已知向量
，
．

（Ⅰ）当
时，求的值；

（Ⅱ）当
时，求向量
与
的夹角的余弦值；

（Ⅲ）当
时，求
．

18. (本小题共9分)

已知

．

（I）求
的值；

（Ⅱ）求
的值；

（III）若
，求
的值．

19. (本小题共9分)

已知函数
.

（I）求
的最小正周期；

（II）求
的单调递减区间；

（III）若函数
在
上有两个不同的零点，求实数
的取值范围．

20．(本小题共9分)

已知函数
，且
，
.

（I）若函数
的图象经过点
，且
，求的值；

（II）在（I）的条件下，若函数
，当
时，函数
的值域为
，求，的值；

（III）若函数
在
上是减函数，求的取值范围.

北京市2014~2015学年度第二学期期中考试

高一数学试卷答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1------5
6------10

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

11.
12.
13.

14. ，
15.
16. ①④

三、解答题：本大题共4小题，共36分.

17．解：（Ⅰ）∵

，

∴
，即
． ……………………2分

（Ⅱ）∵
，

∴
， ……………………3分

且
，
． ……………………4分

∴向量
与向量
的夹角的余弦值为
． ……………………5分

（Ⅲ）依题意
． ……………………6分

∵
，

∴
． ……………………7分

即
，∴
．∴
． ……………………8分

∴
． ……………………9分

17．解：（Ⅰ）由

．

得
…………………2分

（Ⅱ）
…………………4分

（Ⅲ）∵
，
，∴
…………………5分

∵
，

∴
…………………6分

∴

…………………8分

…………………9分

19. 解：（Ⅰ）由
…………2分

得
的最小正周期为. …………………3分

（Ⅱ）由
得 …………………4分

…………………5分

所以函数
的递减区间为
. …………………6分

（Ⅲ）由
，得

，

而函数
在
上单调递增，
， …………………7分

在
上单调递减，
， …………………8分

所以若函数
在
上有两个不同的零点，则
. …………………9分

20.解： (Ⅰ) 因为函数
的图象经过点
，

所以
…………………1分

所以
………………2分

所以

因为
，所以

所以
所以
……………… 3分

(Ⅱ)因为
， 所以

因为
， 所以
.

所以
……………… 4分

所以
因为函数
的值域为
，所以
……………… 5分

解得
……………… 6分

（Ⅲ）因为
， 所以
………… 7分

因为函数
在
上是减函数，

所以函数
的图象过原点，且减区间是

所以
……………… 8分

解得

所以的取值范围是
……………… 9分