2014—2015学年度第二学期期中测试卷

高一数学(甲卷)参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

C

B

D

B

D

C

A

A

B

C



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.
14. 15. 16.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.解：图略（连线的扣2分）……………………………………………………………………4分

设从第项起，这个数列是递增的

则
即
…………………………………………………………5分

所以
，所以
…………………9分

故从第
项起，这个数列是递增的…………………………………………………………10分

18.解：因为
，且AD⊥AC，

所以sin＝，所以cos∠BAD＝，……………………………………4分

在△BAD中，由余弦定理，得BD＝ …………………8分

＝
.………………………………………………12分

19.解：设使用年时平均费用最少，平均费用为万元所以总维修费用为
元，……3分

则
…………………………………9分

当且仅当
时，即
……………………………………………………………………11分

答：娱乐场使用10年平均费用最少……………………………………………………………12分

20.解：设三角形
的三边长分别为
，最小角和最大角分
，

则由正弦定理得
，所以
…………………………………………5分

由余弦定理得
，解得
…………………………10分

所以三角形
的三边长分别为4,5,6……………………………………………………12分

21.解：(1)由已知得
＝－n2，

∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋1，……………………………………………………4分

又当n＝1时，a1＝S1＝－1，符合上式．∴an＝－2n＋1. ……………………………………6分

(2)由已知得bn＝2n，anbn＝(－2n＋1)·2n. ……………………………………………………8分

Tn＝－1×21－3×22－5×23－…－ (2n－1)×2n，……………………………………………9分

2Tn＝ －1×22－3×23－…－(2n－3)×2n－(2n－1)×2n＋1，………………………………10分

两式相减得

Tn＝(2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n)＋(－2n＋1)×2n＋1………………………………………11分

＝ (3－2n)·2n＋1－6. …………………………………………………………………………12分

22.解：(1).证明：依题意，对任意的正整数n，有

?

因为＝ ＝，n∈N*，…………………………………2分

又a1－b1＝－2 013≠0，所以，{an－bn}是首项为－2 013，公比为的等比数列；…………3分

因为＝＝1，n∈N*，…………………………………5分

又a1＋2b1＝4032≠0，所以，{an＋2bn}是首项为4032，公比为1的等比数列．…………6分

(2)由(1)得
解得
n∈N*…………………………7分

显然，{an}是单调递增数列，{bn}是单调递减数列，且an<1 344

即存在正整数c＝1 344，使得对任意的n∈N*，有an<1 344

又令得22n－2>1 342.，所以2n－2≥11即n≥6.5. ………………………11分

所以对任意的n∈N*，当n≥7时，1 343

所以正整数c＝1 344也是唯一的．

综上所述，存在唯一的正整数c＝1 344，使得对任意的n∈N*，有an