2014～2015学年度第二学期期中调研测试高一数学试题

本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.

1.不等式
的解集是　 　▲　 　．

2.已知数列
的前项和为
，若
，则
　　▲　　．

3.在等比数列
中，，，则
　　▲　　．

4.在
中，
则
　　▲　　．

5.在
中，
分别为角
的对边，
则
　▲ ．

6.在等差数列中，，则数列的前项和　　▲　　．

7.在
中,
,
,
,那么
的长度为　　▲　　．

8.若关于的不等式
的解集是
，则=　　▲　　．

9.在
中,
则
的形状为　　 ▲　 　．

10.已知数列
是等差数列,且
,则
　　▲　　．

11．若等比数列
的各项均为正数， 且
成等差数列，则
　 ▲　．

12．已知等差数列
中，
则前项和
的最小值为　　▲　　．

13．已知向量
满足
，且
与
的夹角等于
，
与
的夹角等于
，
，则
　　▲　　．

14．数列
满足
记
若

对任意
恒成立，则正整数的最小值是　　▲　　．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

15．（本题满分14分）

设数列
的前n项和为
且

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）证明
是等差数列．

16．（本题满分14分）

在半径为的圆的内接四边形
中，
，
，
，
．

求：（Ⅰ）
的长及圆的半径；（Ⅱ）四边形
的面积．

17．（本题满分14分）

已知等差数列
的各项均为正数，
，其前项和为
数列
为等比数列，且
，
．

求：（Ⅰ）数列
与
的通项公式；

（Ⅱ）
．

18．（本题满分16分）

如图，一船由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为，前进
后到达B处，测

得岛M的方位角为
．已知该岛周围
内有暗礁，现该船继续东行．

（Ⅰ）若
，问该船有无触礁危险？

（Ⅱ）当与
满足什么条件时，该船没有触礁的危险？

19．（本题满分16分）

已知二次函数
，若不等式
的解集为
，且方程
有两个相等的实数根.

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）若不等式
在
上恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）解不等式

20．（本题满分16分）

如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）.如此继续下去,得图（3）……，记第个图形的边长
、周长为
.

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅱ）若第个图形的面积为
，试探求
满足的关系式，并证明
．

2014～2015学年度第二学期期中调研测试

高一数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.

1.不等式
的解集是
.

2.已知数列
的前项和为
，若
，则
　　4　　．

3.在等比数列
中，，，则
　　32　．

4.在
中，
则

．

5.在
中，
分别为角
的对边，
则

．

6.在等差数列中，，则数列的前项和
．

7.在
中,
,
,
,那么
的长度为
．

8.若关于的不等式
的解集是
，则=　　3　　．

9. 在
中,
则
的形状为　等腰三角形 　．

10.已知数列
是等差数列,且
,则

．

11．若等比数列
的各项均为正数， 且
成等差数列，则

．

12．已知等差数列
中，
则前项和
的最小值为　　－4　　．

13．已知向量
满足
，且
与
的夹角等于
，
与
的夹角等于
，
，则

．

14．数列
若

对任意
恒成立，则正整数的最小值是　　10　．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

15．（本题满分14分）

设数列
的前n项和为
且

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）证明
是等差数列．

15．解：（Ⅰ）因为
………………………………………2分

当
时，
…………………5分

则当
，都有
……………………………………8分

（Ⅱ）因为
……………12分

所以
是首项为3，公差为2的等差数列. ………………………………………14分

16．（本题满分14分）

在半径为的圆的内接四边形
中，
，
，
，
．

求：（Ⅰ）
的长及圆的半径；（Ⅱ）四边形
的面积．

16．解：（Ⅰ）在
中，由余弦定理得：
………4分

由正弦定理得：
…………………………7分

（Ⅱ）设

在
中，由余弦定理得，
…………9分

即
…………11分

则
…………13分

所以四边形
的面积为
…………………………14分

17．（本题满分14分）

已知等差数列
的各项均为正数，
，其前项和为
数列
为等比数列，且
，
．

求：（Ⅰ）数列
与
的通项公式；

（Ⅱ）
．

17．解（Ⅰ）设
的公差为
，
的公比为，则
，

依题意有
………………………3分

解得
或
（舍去）. ……………………………5分

故
. ………………………………………7分

（Ⅱ）
……………………………9分

………………12分

……………………14分

18．（本题满分16分）

如图，一船由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为，前进
后到达B处，测

得岛M的方位角为
．已知该岛周围
内有暗礁，现该船继续东行．

（Ⅰ）若
，问该船有无触礁危险？

（Ⅱ）当与
满足什么条件时，该船没有触礁的危险？

18．（Ⅰ）在△ABM中可知，AB=BM=5， ……………………4分

从而MC=
，没有触礁危险。 ……………………8分

（Ⅱ）设CM＝x,在△ABM中由正弦定理得，
， ……12分

即

，解得
， ……………………14分

所以当
时没有触礁危险. ……………………16分

19．（本题满分16分）

已知二次函数
，若不等式
的解集为
，且方程
有两个相等的实数根.

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）若不等式
在
上恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）解不等式

19． （Ⅰ）由题意，1,4是方程
的两根，且

由韦达定理得，
……………………………2分

因为方程
有两个相等的实数根，所以

消去
得
或
（舍去），
……………………………4分

所以
……………………………5分

（Ⅱ）由题意，不等式
在
上恒成立，

设
其图像的对称轴方程为
…………6分

当
即
时，有
得
………8分

当
即
时，有
得

综上，
………10分

（Ⅲ）方程
的判别式

当
即
时，不等式的解集为R; ………12分

当
时：
时，不等式的解集为
………13分

时，不等式的解集为
………14分

当
即
时，不等式的解集为
………16分

20．（本题满分16分）

如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）.如此继续下去,得图（3）……，记第个图形的边长
、周长为
.

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅱ）若第个图形的面积为
，试探求
满足的关系式，并证明
．

20．解：（Ⅰ）由题意知，从第2个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的
所以数列