2014年全国高中数学联合竞赛一试模拟试题

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}

若A(B，则实数a的取值范围是 ．

已知椭圆
的左右焦点分别为
与
，点P在直线l：
上. 当
取最大值时，比
的值为 .

3．设
，则
的值域是 。

4．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为________.

5．函数
的值域为____________.

6．已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________.

7．用[x]表示不大于实数x的最大整数， 方程lg2x－[lgx]－2=0的实根个数是 ．

8．各项均为实数的等比数列{a n }前n项之和记为S n ,若S10 = 10, S30 = 70, 则S40等于__________.

二、解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

9．（本题满分16分）如图，有一列曲线P0, P1, P2, ……，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,…)，记Sn为曲线Pk所围成图形面积。

①求数列{Sn}的通项公式；②求
。

10．（本题满分20分）如题10图，
是抛物线
上的动点，点
在
轴上，圆
内切于
，求
面积的最小值．

[解] 设
，不妨设
．

直线
的方程:
，

化简得
．

又圆心
到
的距离为1，

， …5分

故
，

易知
，上式化简得
，

同理有
． …10分

所以
，
，则
．

因
是抛物线上的点，有
，则

，
． …15分

所以

．

当
时，上式取等号，此时
．

因此
的最小值为8． …20分

（本题满分20分）设
. 记
，

，
.

证明：
.

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1、【解】A=(1，3)；

又，a≤－21－x∈(－1，－)，当x∈(1，3)时，a≥ －7∈(－7，－4)．

∴ －4≤a≤－1．

2、【解】 由平面几何知，要使
最大，则过
，P三点的圆必定和直线l相切于P点。设直线l交x轴于A
，则
，即
，即
（1），又由圆幂定理，
（2），而
，
，A
，从而有
，
。代入（1），（2）得
。

3、【解】
。令
，则

。因此

。 即得
。

4、【解】设球半径为R，其内接圆锥的底半径为r，高为h，作轴截面，则r2=h(2R－h)．

V锥=πr2h=h2(2R－h)=h·h(4R－2h)≤=·πR3．

∴ 所求比为8∶27．

5、【解】
等价于
或
．

即
或
．

此时
或
或
．

∴解为x >4或0

【解】首项为a为的连续k个正整数之和为

　　由Sk≤2000，可得60≤k≤62.

　　当k=60时，Sk=60a+30×59，由Sk≤2000，可得a≤3，故Sk=1830,1890,1950；

　　当k=61时，Sk=61a+30×61，由Sk≤2000，可得a≤2，故Sk=1891，1952；

　　当k=62时，Sk=62a+31×61，由Sk≤2000，可得a≤1，故Sk=1953.

　　于是，题中的n有6个.

【解】令lgx=t，则得t2－2=[t]．作图象，知t=－1，t=2，及1

【解】首先q≠1，于是，(q10－1)=10，(q30－1)=70，∴ q20+q10+1=7．(q10=2．(－3舍)

∴ S40=10(q40－1)=150．

二、解答题：本大题共3小题，共56分

9、【解】①对P0进行操作，容易看出P0的每条边变成P1的4条边，故P1的边数为3×4；同样，对P1进行操作，P1的每条边变成P2的4条边，故P2的边数为3×42，从而不难得到Pn的边数为3×4n …………5分

已知P0的面积为S0=1，比较P1与P0，容易看出P1在P0的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为
，而P0有3条边，故S1=S0+3×
=1+

再比较P2与P1，容易看出P2在P1的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为
×
，而P1有3×4条边，故S2=S1+3×4×
=1+
+

类似地有：S3=S2+3×42×
=1+
+
+
…………5分

∴Sn=

=1+

=
(※) …………10分

下面用数学归纳法证明(※)式

当n=1时，由上面已知(※)式成立，

假设当n=k时，有Sk=

当n=k+1时，易知第k+1次操作后，比较Pk+1与Pk，Pk+1在Pk的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为
，而Pk有3×4k条边。故

Sk+1=Sk+3×4k×
=

综上所述，对任何n∈N，(※)式成立。

②
…………16分

10、【解】 设
，不妨设
．

直线
的方程:
，

化简得
．

又圆心
到
的距离为1，

， …5分

故
，

易知
，上式化简得
，

同理有
． …10分

所以
，
，则
．

因
是抛物线上的点，有
，则

，
． …15分

所以

．

当
时，上式取等号，此时
．

因此
的最小值为8． …20分

11、 【证明】（１）如果
，则
，
。 ………………………（5分）

（２）如果
，由题意
，
,
. 则

① 当
时，
（
）. 事实上，当
时，
, 设
时成立（
为某整数），则对
，
.

② 当
时，
（
）.事实上，当
时，
, 设
时成立（
为某整数），则对
，有
.注意到 当
时,总有
，即
. 从而有
.由归纳法，推出
。 ……………（15分）

（3）当
时，记
，则对于任意
，
且
。对于任意
，
, 则
。 所以，
。当
时，
，即
。因此
。综合（１）（２）（３），我们有
。 …………………………（20分）