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⒛13年全国高中数学联赛江苏赛区

初赛参考答案与评分细则

-、填空题(本题满分⒛ 分,每小题7分)

1.设方程

'-2″

苈+'-1=o的根大于-2,且小于4,则实数昭的范围是____'

答案:-1(坳(3.

解:方程

'-2彻

+99c2-1=0的两根为:汕=昭-1,砀=昭+1.

由题设得

{篇∶∶∶「

2’

解之得-1<昭<3。

2.从6双不同号码的鞋中取出4只,至少配成一双的概率为 。

答案:菇。

雠P= 菇·

3.设实数艿,`满足

'—

Hir+'+3=0,则

'+'的

最大值与最小值之差是~。

答案:8。

解:由题意知,点α,,/,J在圆C:←一勾

2+`2=1上,'+`2表示圆C上的点到原点距离

的平方,其最大值为9,最小值为1.因此

'+'的

最大值与最小值之差为8。

4.若存在正实数c,3满足⒄+3i)刀=@~3i)刁C是虚数单位,刀∈NV,则刀的最小值

是 。

答案:3.

解:当刀=1,2时,经计算,不存在正实数c,D,满足@+3i)刀=@_3i)刀.

当刀=3时,取c=:,3=誓,使得o+D◆

刀=⒄ ~吖=刊。

故刀的最小值是3.

5.若三角形刀r的三边'锣,BC,'C成等差数列,则Z'的取值范围是____。

答案:⑩ ,争。

解:令A/BC的角×,B,C所对的边分别为夕,3,c。由题意知勿=D+c.

由余弦定理矢口

筐

壳蒜F茎=骅3c 3° _c)2+劬c

83c

·

因为D,c是正实数,所以co“ ≥;等号成立当且仅当3=⒍

由0(彳(‰ 矢口0(彳≤詈。

⒛13年全国高中数学联赛初赛参考答案第1页共5页

6.若数列彻刀)满足%=9,@刀+1^曰刀

~1)⒄

刀+1一饧刀)± 0⒄ ∈Nxl,则满足条件的臼的所有可

能值之积是~。

答案:0。

解:由⒄ ″+1— c刀

ˉ 1)(9,z+1-3c刃)=0知四刀饲

~C刀ˉ 1=0或c刀

"-3四

刀=0。

因为%=9,所以臼可能为3。同理饧可能为1,从而推知c1可能为0.

因此,符合条件的一个数列的前四项可以是0,1,3,4。

故满足条件的饵的所有可能值之积是0.

7.已知炯='-9⒋ +⒛13,则笈∝o+ⅨoD=_____.

,o=30

答案:364.

解:灭3⑴ =93,灭31)=60,灭3㈥=29丿灭33)=0.

当刀=34,35,? ,ω 时,灭⑷(0。

所以笈∝刀)+|灭″)D=2×臼3+ω +29)=364。

99=30

8.设炳

`∈

m,刎,且满足⒉血c唧+s血+c唧=一

去贝刂苋+`的最大值为___=

答案:驾宀

解:由厶血cov+sim+cov=—:,得(2⒍1hˉ+1)(2∞ V+1)=0.

F9f以血J=—

:, J或

cOEv=—

:。

所以F窘或戋吕此时

`可

以取山,刎内的任意值;

或厂≠争琵瞥,此时艿可以取p,刎内的任意隹

所以豸+`的最大值为爿笋

+2冗=气|

9.已知正四面体力KD的棱长为9,点P是面

'BC上

的一个动点,满足P到面Ω锣,DBC,

Dα 的距离成等差数列,则P到面Dα 距离的最大值是~。

答案:2雨。

解:记点P到面D'侣,DBC,DG4的距离分别为砒,此,呢,

则

'I+饧

+叱为正四面体彳B‘D的高hR

由

'1,饧

,吨成等差数列,故P到面Dα 距离的最大值为纳R

2013年全国高中数学联赛初赛参考答案第2页共5页

10.将小王与小孙现在的年龄按从左至右的顺序排列得到一个四位数,这个数为完全平方

数.再过31年,将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数,这个数仍为完全

平方数。小王现在的年龄是~.

答案:12。

解:设小王现在的年龄是日,小孙现在的年龄是3。

设ε有昭个数字,D有刀个数字,由已知得勿+刀=4。

如果庇<2,那么刀≥3,但在31年后,￠是2位数,这与题意不符.

由对称性,知刀也不小于2,从而昭=刀=2。

设按照题中要求顺序排列的平方数依次为

'和

/,0(艿(`,

贝刂

'='+3131,即

o=θ o+D=31× 101.

又0(豸<`,故

`=艿

=31且

'+艿

=101,于是推得←,D=(35,甾).

因此

'=12乃

和

'=侣

56,从而推得小王是12岁,小孙是犭岁.

二、解答题(本题满分gO分,每小题⒛ 分)

⒒ 设庀为娥κ 【⒍ 椭圆廴呷巾与椭圆砀●喾+'剖交于点批

￡1的左顶点为B,马的右顶点为D臼口图).若四边形⒕B‘D是芷方形,求实数佬。

'

武

@ ×

(第11题图)

解由甲+'剖与喾勹饪△ 得←艹′钊,解叫

。

将其代入

喾

+'=L得

'点

的纵坐标为

'=立

丧∶

Z. ???????¨10分

因为四边形刀CD为正方形,根据对称性知BD='C。

又义-3+庀,⑴ ,D(3,⑴ ,则BD=6一庀;'C=v瓦=7. ¨¨¨¨¨???叫5分

刚← 仁」互

手

≡黾Fx,ls/c一缈

—0扎

解得庀=∝舍去)或庀=管.

所以庀=管。 ??????叩分

⒛13年全国高中数学联赛初赛参考答案第3页共5页

⒓。如图,梯形屈CD中,B、D关于对角线彳C对称的点分别是卩、P,'、C关于对角线

BD对称的点分别是

'∫

、C′。证明:四边形彳罗CD′是梯形。

(第12题图)

证明:如图,B、D关于对角线/C对称的点分别是刀、罗,

则BD与BP交于BD和

'C的

交点@。???? 5分

由对称得BB∥DD1所以

篙=g箦

又Z、C关于对角线BD对称的点分别是彳′、卩,

同理嚅孓篇。

因为梯形中BC〃加,贝

吒膏=肜=箬≠L z

所以篝=篇≠⒈

所以B甲∥

'D′

,且尸σ≠彳D′ ,

所以四边形

'9CD∫

是梯形。

??????????10分

????????????·20分

13.设实数c,3满足∝勒

铹

连D≤ 1,证明:绨一⑶≤c∝昭—cos砧.

证明:设炯=ztˉ+∞s硝,欲证不等式转化为灭D丫顶伤).

由于/伽)=2— 鹏in砑,/″⑺ =~′∞sπ .

当艿∈ ⑩ ,勃时,/″⑺ =_'GOs庥(o,当艿∈ 61)时,/″⑺ =_'cos砑>o,

姒徇在鲫⒍ :u调庇枢吒川lLg调氍

因为/【⑴瓦巛1)=2和/0=2一丌阝0,

所以存在α和

', 0<α

(:<'(19

使得rKα)r`⒀ =o,r勹⑺(0当且仅当艿∈臼,o· ¨??????? 10分

于是函数舟)在区间lO,洌和r,刂上单调增,在区间h,用上单调减。

因为胭亻0亻⑴ =L故对于艿∈m,尝有炯≥L对于豸∈

珐,刂有们≤⒈

特别地, r(D)≤ 1≤√(Θ .

????????⒛ 分

2013年全国高中数学联赛初赛参考答案第4页共5页

14.正100边形

''/3·

·以100的每个顶点染红、黄、蓝三色之一。证明:必存在四个同色点,

恰为某等腰梯形的顶点。

证明:记正100边形///3··叨100的外接圆半径为r。

把顶点分为乃个点集:弘4屠3,亻4庀2,Z伊1,彳4钅),乃=1,2,? ,乃。

每个点集中4点染3色,至少有两点同色,

此两点为端点的劣弧弧长分别为簧,哿,瓷艮一· ? ?¨ ¨? ??? 10分

弧长为筘驾孓哿,且两端同色的弧共有9种。

前10个点集中至少存在10段此类弧。

故总有两段弧

“

同种

”,且均在某直径一侧,

所以此两段弧四个端点构成的四边形为等腰梯形。 ¨???????zO分

2013年全国高中数学联赛初赛参考答案第5页共5页