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简介:
2013年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试 (考试时间:80分钟 满分:120分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共8小题,每小题8分,共64分) 1. 函数的值域是___________ 2. 设a, b, c为RT△ACB的三边长, 点(m, n)在直线ax+by+c=0上. 则m2+n2的最小值是___________ 3. 若,且为正整数,则 4. 掷6次骰子, 令第次得到的数为, 若存在正整数使得的概率,其中是互质的正整数. 则= . 5. 已知点在曲线y=ex上,点在曲线y=lnx上,则的最小值是_______ 6. 已知多项式f (x)满足:, 则_________ 7. 四面体OABC中, 已知∠AOB=450,∠AOC=∠BOC=300, 则二面角A-OC-B的平面角的余弦值是 __________ 8. 设向量满足对任意和θ∈[0, ], 恒成立. 则实数a的取值范围是________________. 二、解答题(本大题共3小题,第9题16分,第10、11题20分,共56分) 9.设数列满足,.求证:当时,. (其中表示不超过的最大整数). 10. 过点作动直线交椭圆于两个不同的点,过作椭圆的切线, 两条切线的交点为, ⑴ 求点的轨迹方程; ⑵ 设O为坐标原点,当四边形的面积为4时,求直线的方程. 11. 若、、,且满足,求的最大值。 2013年全国高中数学联赛模拟卷(2)答案 1.解:令sinx+cosx=t, 则t=,2sinxcosx=t2-1, 关于t+1在和 上均递增,所以,或, 即值域. 2. 解:因(m2+n2)c2=(m2+n2)(a2+b2)=(ma)2+(nb)2+(mb)2+(na)2 ≥(ma)2+(nb)2+2mnab=(ma+nb)2=c2, 所以m2+n2≥1, 等号成立仅当mb=na且am+bn+c=0, 解得(m, n)=(), 所以m2+n2最小值是1. 3. 解:由知可能为1,3, 11, 33, 从而解得 4.解:当时,概率为;当时,,概率为; 当时,,概率为; 当时,,概率为; 当时, ,概率为;当时,概率为;故 ,即,从而. 5. 解:因曲线y=ex与y=lnx关于直线y=x对称.所求的最小值为曲线y=ex上的点到直线y=x最小距离的两倍,设P(x, ex)为y=ex上任意点, 则P到直线y=x的距离, 因,所以,,即min=. 6.解: 解:用代替原式中的得: 解二元一次方程组得,所以:,则. (分析得为一次多项式,可直接求解析式) 7. 解:不妨设AC⊥OC⊥BC,∠ACB=,∠AOC=∠BOC=,∠AOB=. 因= 即, 两端除以并注意到 , 即得, 将=450,=300代入得, 所以,. 8.解:令则,, 因, 所以,对任意恒成立 或或对任意 恒成立或. 9. 证明:对于任何正整数,由递推知.由知数列递减. 又对任意, .即有,从而.于是, 当时,; 当时,由递减得. 故.所以,. 10. 解(1)依题意设直线方程为,与椭圆联立得 ,,由得 设,则过椭圆的切线分别为……①和……② ①②,并且由及得, 同理,故点的轨迹方程为(在椭圆外) (2),O到PQ的距离为,M到PQ的距离为 ,, 四边形的面积 当时解得或,直线为或 11. 解:由均值不等式得 , ∴ ,等号成立当且仅当, 故的最大值为100 . 2013年全国高中数学联赛模拟卷(2)第一试 (考试时间:80分钟 满分:120分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共8小题,每小题8分,共64分) 1、某天下午的课程表要排入物理、化学、生物和两节自习共5节课,如果第1节不排生物,最后1节不排物理,那么不同的排课表的方法有__________种. 2、函数f (x)的定义域为D,若满足①f (x)在D内是单调函数,②存在[a, b](D,使f (x)在[a, b]上的值域为[a, b],那么y=f (x)叫做闭函数,现有是闭函数,那么的取值范围是_________ 3、如图,在△ABC中,,, 则过点C,以A、H为两焦点的双曲线的离心率为 _________ 4、一个单位正方形的中心和一个圆的圆心重合,并且正方形在圆的内部, 在圆上随机选一点,则由该点可以看到正方形的两条完整的边的概率为,则该圆的半径为________ 5、有一个正四棱锥,它的底面边长与侧棱长均为,现用一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸,但可以折叠),那么包装纸的最小边长应为____________. 6、若实数a, b, x, y满足,,,则________ 7、设对于任意满足的自然数,有不等式恒成立,则的最大值为__________ 8、 圆周上有10个等分点,则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中,梯形所占的比为_______ 二、解答题(本大题共3小题,第9题16分,第10、11题20分,共56分) 9.已知正实数,设,. (1)当时,求的取值范围; (2)若以为三角形的两边,第三条边长为构成三角形,求的取值范围. 10. 已知数列{an}:, ⑴ 证明: ⑵ 求出所有的正整数,使得为完全平方数. 11. 设为正实数,且.证明:. 2013年全国高中数学联赛模拟卷(2)答案 1、由容斥原理知,有种. 2、在[-2, +∞)有两不等实根. 设,则在 [0, +∞)有两个不等实数根,则且解得. 3、取AB的中点D, 则, 由得, 即. 故△ABC的底边AB上的高线与中线重合. 从而△ABC是等腰三角形. AC=BC. 由知, . 由, 知,,则. 在Rt△ACH中, 不妨设CH=3, 则AH=4, BC=AC==5. 故以A、H为两焦点的双曲线的离心率为. 4、在正方形相邻边所夹的劣弧上,可以看到完整的两条边。而由题设“可以看到正方形的两条完整的边的概率为”,可知延长正方形的边与圆的8个交点将圆周8等分.可以得到圆半径为. 5、将正四棱锥的侧面向外展开到底面,则4个侧面三角形的顶点所构成的正方形即为最小正方形, 边长为. 6、因为,所以. 所以.即……⑴ 因为,所以. 所以.即……⑵ 由⑴、⑵,解得,. 又因为,所以. 所以.所以. 注:用递归数列也可求解. 7、 原不等式.,. ∴. 8、任选4点,共有个凸四边形,其中梯形的两条平行边可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取,也可以从不平行于直径的4条平行弦中选取,除去矩形,梯形共有60个,所以,梯形所占的比为. 9、解:(1)∵,且 ∴ 又, 结合二次函数的图像知,故的取值范围为 另解:=, ,得的取值范围为 (2)设,则,恒成立, 即 , 恒成立, 令,由于在是增函数,令, 则又 ,得的取值范围为 10、解, 我们用归纳法证明. (*) (1)当时,结论成立. (2)假设当时,结论成立。即 又由于代入上式可得: ……① 则当时,(由①) 故当时,结论成立,即(*)式成立. 又可知: 则, 设 则 知: 又且 故或 故或(舍去) 则当时,满足条件. 11.证明 因为,要证原不等式成立,等价于证明 …… ① 事实上, | ||||||||||||||||||||||||||||||
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