2012各省数学竞赛汇集

目录

1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页

2. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第7页

3. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第10页

4. 2012年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页

5. 2012年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页

6. 2012年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页

7. 2012年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第35页

8. 2012年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页

9. 2012年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页

10. 2012年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页

11. 2012年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页

12. 2012年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页

13. 2012年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第77页

14. 2012年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第81页

15. 2012年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第83页

2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

一、填空题（70分）

1、当
时，函数
的最大值为__18___.

2、在
中，已知
则
___4____.

3、从集合
中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____
_______.

4、已知
是实数，方程
的一个实根是
（
是虚部单位），则
的值为_____
___.

5、在平面直角坐标系
中，双曲线

的右焦点为
，一条过原点
且倾斜角为锐角的直线
与双曲线
交于
两点.若
的面积为
，则直线的斜率为___
____.

6、已知
是正实数，
的取值范围是___
_____.

7、在四面体
中，
,
,
该四面体的体积为_____
_______.

8、已知等差数列
和等比数列
满足：

则
___
___.（
）

9、将
这
个数排成一列，使任意连续
个数的和为
的倍数，则这样的排列有___144_____种.

10、三角形的周长为
，三边
均为整数，且
，则满足条件的三元数组
的个数为__24___.

二、解答题（本题80分，每题20分）

11、在
中，角
对应的边分别为
，证明：

（1）

（2）

12、已知
为实数，
，函数
.若
.

（1）求实数
；

（2）求函数
的单调区间；

（3）若实数
满足
，求证：

13、如图，半径为
的圆
上有一定点
为圆
上的动点.在射线
上有一动点
,
.线段
交圆
于另一点
，
为线段的
中点.求线段
长的取值范围.

14、设是
正整数，
是方程
的两个根.证明：存在边长是整数且面积为
的直角三角形.

2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

（高一年级）

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．已知集合
N，且
N
，则
1 ．

2．已知正项等比数列
的公比
，且
成等差数列，则

．

3．函数
的值域为
．

4．已知
，
，则

．

5．已知数列
满足：
为正整数，

如果
，则
5 ．

6．在△
中，角
的对边长
满足
，且
，则

．

7．在△
中，
，
．设
是△
的内心，若
，则
的值为
．

8．设
是方程
的三个根，则
的值为 －5 ．

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9．已知正项数列
满足
且
，
，求
的通项公式．

解 在已知等式两边同时除以
，得
，

所以
． ------------------------------------------4分

令
,则
，即数列
是以
＝4为首项,4为公比的等比数列，所以
. ------------------------------------------8分

所以
,即
. ------------------------------------------12分

于是，当
时,

，

因此,
------------------------------------------16分

10．已知正实数
满足
，且
，求
的最小值．

解 令
，
，则

．----------------------------------------5分

令
，则
，且
．------------------------------10分

于是

． ------------------------------15分

因为函数
在
上单调递减，所以
．

因此，
的最小值为
． ------------------------------------------20分

11．设
，其中
且
．若在区间
上
恒成立，求
的取值范围．

解
．

由
得
，由题意知
，故
，从而
，故函数
在区间
上单调递增. ------------------------------------------5分

（1）若
，则
在区间
上单调递减，所以
在区间
上的最大值为
．

在区间
上不等式
恒成立，等价于不等式
成立，从而
，解得
或
．

结合
得
． ------------------------------------------10分

（2）若
，则
在区间
上单调递增，所以
在区间
上的最大值为
.

在区间
上不等式
恒成立，等价于不等式
成立，从而
，即
，解得
．

易知
，所以不符合． ------------------------------------------15分

综上可知：
的取值范围为
． ------------------------------------------20分

2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题

（高二年级）

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．函数
的值域为________________．

2．已知
，
，则
_______________．

3．已知数列
满足：
为正整数，
如果
，则
．

4．设集合
，
是
的子集，且满足
，
，那么满足条件的子集
的个数为 ．

5．过原点
的直线
与椭圆
：
交于
两点，
是椭圆
上异于
的任一点．若直线
的斜率之积为
，则椭圆
的离心率为_______________．

6．在△
中，
，
．设
是△
的内心，若
，则
的值为_______________．

7．在长方体
中，已知
，则长方体的体积最大时，
为_______________．

8．设
表示不超过
的最大整数，则
．

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9．已知正项数列
满足
且
，
，求
的通项公式．

10．已知正实数
满足
，且
，求
的取值范围．

11．已知点
为抛物线
内一定点，过
作斜率分别为
的两条直线交抛物线于
，且
分别是线段
的中点．

（1）当
且
时，求△
的面积的最小值；

（2）若
（
为常数），证明：直线
过定点．

2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

（高二年级）

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．函数
的值域为
．

2．已知
，
，则

．

3．已知数列
满足：
为正整数，

如果
，则
5 ．

4．设集合
，
是
的子集，且满足
，
，那么满足条件的子集
的个数为 185 ．

5．过原点
的直线
与椭圆