2013年福建省高中数学竞赛

暨2013年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案

（考试时间：2013年9月7日上午9：00－11：30，满分160分）

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）

1．已知数列
满足
，
（
），则
的最小值为 。

【答案】

【解答】由
，
知，

，
，……，
，
。

上述
个等式左右两边分别相加，得
。

∴
，又
时，
；
时，
。

∴
时，
取最小值
。

2．对于函数
，
，若对任意的
，存在唯一的
，使得
，则称函数
在
上的几何平均数为
。已知
，
，则函数
在
上的几何平均数
。

【答案】

【解答】 ∵ 当
时，
，

∴
在区间
上为增函数，其值域为
。

∴ 根据函数
几何平均数的定义知，
。

3．若三个非零且互不相等的实数
、
、
满足
，则称
、
、
是调和的；若满足
，则称
、
、
是等差的。已知集合
，集合
是集合
的三元子集，即
。若集合
中元素
、
、
既是调和的，又是等差的，则称集合
为“好集”。则不同的“好集”的个数为 。

【答案】 1006

【解答】若
、
、
既是调和的，又是等差的，则
，
，
。

即“好集”为形如
（
）的集合。

由“好集”是集合
的三元子集知，
，
，且
。

∴
，
，且
。符合条件的
可取1006个值。

∴ “好集”的个数为1006。

4．已知实数
，
满足
，且
，则
的最小值为 。

【答案】

【解答】由
知，
。

∴
。

设
，则
，

。

当且仅当
，即
，
，
时等号成立。

∴
的最小值为27。

5．如图，在四面体
中，
，
是边长为3的等边三角形。若
，则四面体
外接球的面积为 。

【答案】

【解答】如图，设正
的中心为
，四面体
外接球的球心为
。则
，
，
。

取
中点
。

由
知，
，
，
。

于是，
。

∴ 四面体
外接球半径为2，其面积为
。

6．在正十边形的10个顶点中，任取4个点，则以这4个点为顶点的四边形为梯形的概率为 。

【答案】

【解答】设正十边形为
。则

以
为底边的梯形有
、
、
共3个。同理分别以
、
、
、…、
、
为底边的梯形各有3个。这样，合计有30个梯形。

以
为底边的梯形有
、
共2个。同理分别以
、
、
、…、
、
为底边的梯形各有2个。这样，合计有20个梯形。

以
为底边的梯形只有
1个。同理分别以
、
、
、…、
、
为底边的梯形各有1个。这样，合计有10个梯形。

所以，所求的概率
。

7．方程
在区间
内的所有实根之和为 。（符号
表示不超过
的最大整数）。

【答案】 12

【解答】设
，则对任意实数
，
。

原方程化为
。

① 若
，则
，
（
）。

∴
（
）。结合
知，
，1，2，3，4，5，6。

经检验，
，2，4，6符合要求。

② 若
，则
，
（
）。

∴
（
）。结合
知，
，
，
。

经检验，
，
，
均不符合要求。

∴ 符合条件的
为0，2，4，6，它们的和为12。

8．已知
为
上增函数，且对任意
，都有
，则
。

【答案】 10

【解答】依题意，
为常数。设
，则
，
。

∴
，
。易知方程
有唯一解
。

∴
，
。

9．已知集合
的元素都是整数，其中最小的为1，最大的为200。且除1以外，
中每一个数都等于
中某两个数（可以相同）的和。则
的最小值为 。（符号
表示集合
中元素的个数）

【答案】 10

【解答】易知集合
符合要求。此时，
。

下面说明
不符合要求。

假设集合
，
符合要求。

则
，
，
，
，
，
，
。

由于
，因此，
，
。

同理，由
，知，
，
。

由
，知，
，
。

由
，知，
，
与
为整数矛盾。

∴
不符合要求，
。同理，
也不符合要求。

因此，
的最小值为10。

10．已知函数
，则函数
在区间
上的最大值为 。

【答案】

【解答】若
为有理数，且
。设
（
，
），

由
知，
，
。

当
时，
不存在；

当
时，存在唯一的
，此时
，
。

当
时，设
，其中
，且
，此时
。

∵
，

∴ 若
为有理数，则
时，
取最大值
。

又
为无理数，且
时，
。

综合以上可知，
在区间
上的最大值为
。

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）

11．将各项均为正数的数列
排成如下所示的三角形数阵（第
行有
个数，同一行中，下标小的数排在左边）。
表示数阵中，第
行、第1列的数。已知数列
为等比数列，且从第3行开始，各行均构成公差为
的等差数列（第3行的3个数构成公差为
的等差数列；第4行的4个数构成公差为
的等差数列，……），
，
，
。

（1）求数阵中第
行、第
列的数
（用
、
表示）。

（2）求
的值；

（3）2013是否在该数阵中？并说明理由。







































































…

…

…







…

…





【解答】（1）设
的公比为
。

依题意，
为数阵中第5行、第2列的数；
为数阵中第6行、第3列的数。

∴
，
，
，
。 ………