第八节 梯形

梯形金字塔

　　从第三王朝开始，人们进一步看重尸体的保存.死者不再采取从前的蜷曲侧躺的胎儿姿态，而是平直地安放在坟墓中.玛斯塔巴形式的王室坟墓一直沿用到这一时期.但是，坟墓建筑史上重要里程碑的到来并非是角锥金字塔的出现，而是以左塞王梯形金字塔（或称层级金字塔）的出现为标志.

　　左塞王梯形金字塔的设计者名叫伊姆霍太普.据说，他是平民家庭出身，因为有惊人的智慧和渊博的学识而受到法老的器重，被破格委以重任，直至成为国家的第二号人物——宰相.他为重用自己的法老乔塞尔（又译左塞）别出心裁地修建了一种新墓.从考古发掘的结果获知，这座高61.2米，底边东西长143米，南北125米的六级阶梯形金字塔，前后经过六次设计、扩建.最初它设计成了一个典型的“玛斯塔巴”墓.该墓地面部分是长宽约60米，高近8米的方形建筑.中部填满碎石和泥土，表面由光滑的石灰石砌成，墓室是这样建造的，先在岩石上挖一口28米深的旱井，并凿台阶通到井底.井底每边长7米，建两室作为左塞尔的殡室.两室之间有门相通，门上绘有用古埃及象形文字书写的国王名字和谥号.殡室本身无门外通，只能以天花板上一个圆洞作为出口，连通上面的房间.洞口用一块约3吨重的石块堵住，经一条20米长的甬道通往墓外.殡室四周有四条甬道，堆放各种随葬品.地下墓室建成后，在地面上盖第一个“马斯塔巴”（高11.48米），接着往上盖第二个（高10.95米）、第三个（高10.43米）、第四个（高9.92米）、第五个（高9.39米）、第六个（高8.89）.“马斯塔巴”越往上，体积越小.这样，墓的外形呈六层阶梯状，总高度为61.06米， 故人称为“梯形金字塔”.梯形金字塔虽然很快被更高更大的建筑物所超越，但是直到拉美西斯二世时代（1500年后），朝圣者的壁刻记载，它仍然是令人敬畏的.作为金字塔的鼻祖，梯形金字塔掀开了古代埃及建筑史上新的一页.它不仅第一次创造了近60米高的建筑奇迹，而且成功地建造了一组完整的轴对称布局的建筑.此墓的修建是埃及建筑史上的一次创新与革命，它首次用石头代替砖作为建筑材料，成为世界上第一座大型的石造建筑，在设计思想上开拓了通向真正金字塔的道路.伊姆荷太普逝世后，埃及人尊他为神，将他的名字刻在乔塞尔雕像的座基上.有人推测他就葬在距层级金字塔不远的地方，但他的墓地至今仍末发现.

　　

梯形释疑解难

　　（1）结合图形理解梯形的定义应注意以下几点：①梯形和平行四边形同属于凸四边形；②梯形和平行四边形的区别是；平行四边形两组对边平行；梯形一组对边平行，而另一组对边不平行．从另一个角度看，平行四边形对边平行且相等，梯形平行的一组对边不相等；③梯形中互相平行的两边叫梯形的底．上底、下底是以平行的两边长短区分的，不是指这两边的位置．

　　（2）梯形是在三角形和平行四边形的基础上进行研究的，因此在学习有关梯形的性质和判定等知识时，宜先复习一下三角形和平行四边形的知识．梯形中的证明、计算问题关键是化归——通过添作辅助线，将梯形中的问题化归为三角形或平行四边形的问题来解决，具体作辅助线的方法如图所示：

　　（3）等腰梯形除具有一般梯形的性质外，还有“两腰相等”、“同一底上的两角相等”、“两条对角线相等”、“是轴对称图形”这些特殊性质．通过上、下底中点的连线是它的对称轴；两腰延长线的交点、对角线的交点都在对称轴上．

　　

梯形问题的解题策路与方法

　　解决梯形问题经常要根据条件添加辅助线，把梯形问题转化为较简单的三角形或平行四边形问题解决，使一些分散的条件适当集中，再进行解答．

　　一、延长两腰

　　延长梯形的两腰，使它们交于一点，可得到两个相似三角形．

　　例1如图，在梯形 中， ， ，梯形 的面积与梯形 的面积相等．求证： .

　　分析：条件是两个梯形的面积相等，而结论是三线段长的平方关系，如果延长两腰交于一点，就可得到三个相似的三角形，再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论．

　　证明：延长 、 使它们相交于 点，

　　∵ ，

　　∴

　　

　　∴

　　 .

　　同理，

　　∵

　　故得

　　∴

　　评注：面积与线段的平方关系可借助相似三角形来解决．此题添加辅助线后得到若干个相似三角形，把条件都集中在三角形中，有助于问题的解决．

　　二、平移对角钱

　　平移对角钱，一般是过小底的一个端点作一条对角线的平行线，与另一底的延长线相交，得到一个平行四边形和三角形，把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决．

　　在解题中，平移一条对角线后得到一个直角三角形，并且所有条件在聚集在这个三角形中，使问题易于解决．

　　三、作梯形的高

　　从梯形小底的两端向大底引垂线，可以得到一个矩形和两个直角三角形．

　　例 3  如图，梯形 中， ， 、 为对角线，求证：

　　分析：由结论联想到勾股定理，因此，分别过 、 作 的垂线，垂足为 、 ，得到 和 ，分别用勾段定理，然后化简就可得到结论．

　　证明：过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，则 ．

　　∴

　　

　　

　　

　　同理

　　∴

　　

　　 ，

　　又∵ ，∴

　　∴

　　评注：证明平方关系，往往要构造直角三角形，使问题转化为解直角三角形．

　　四、平移梯形的腰

　　平移梯形一腰或两腰，把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中，同时还得到平行四边形．

　　例3是 如图，在梯形 中， ， 、 分别是 、 的中点，若 。 ， ，求 ．

　　分析：由条件 ，我们通过平移 、 ；构造直角三角形 ，使 恰好是 的中线．

　　解：过 作 ， ，分别交 于 、 ，∵ ，

　　∴

　　∴ 是直角三角形，∵ ， ，

　　∴ .

　　∵ 、 分别是 、 的中点，

　　∴ 为 的中点，∴ .

　　评注：这里平移样形的两腰解题，而过一腰的端点作另一腰的平行线也是常用的辅助线．

　　五、过梯形一腰的中点构造全等三角形

　　取一腰的中点，连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交，可得两个全等三角形．

　　例 4如图，梯形 中， ， 、 分别平分 和 ， 为 中点，求证： ．

　　分析：要证明 ，可以利用 为 中点，延长 与 的延长线交于 ， ，得到 ，再证明 即可．

　　证明：延长 、 交于点F，显然 ．∴ ， .

　　又∵ ，

　　 ， ，

　　∴ ，∴

　　∴ 是线段 的垂直平分线．

　　∴ ，∴ .

　　评注：添加辅助线后，沟通了 、 与 的联系，由线段垂直平分线性质得出 ，从而问题获得解决．

　　六、将梯形补成平行四边形；

　　例5 如图，梯形 中， ， 为腰 的中点，求证： 。

　　分析： 与梯形ABCD的面积关系不明显，如果利用梯形助特点把它补成如图7的平行四边形，它们之间的关系就清晰了．

　　证明：延长 ，使 ，延长 ，使 ；则 ，则四边形 是平行四边形． 为 的中点，连结 ， 与 交于点 。连结 、 ，则 .

　　∵ ， 是 中点，

　　∴ 为 中点且是 中点．

　　∴四边形 是平行四边形，

　　∴ ，∴

　　评注：梯形补成平行四边形，各种关系明显、直观，解题思路清晰．

　　通过解决以上问题可以看出，添加辅助线有助于把复杂的图形分解为简单的图形，把复杂的问题分解为若干简单问题，把不规则图形转化为规则图形，有利于挖掘隐含条件，造成新的关系，使原题转化为容易解决的问题．