第八节 梯形
典型例题
填空题:
例 下列命题:①一组对边平行且相等的四边形是梯形;②一组对边平行且不相等的四边形是梯形;③一组对边平行,另一组对边相等的四边形是梯形;④一条直线与矩形的一组对边相交,必分矩形为两个直角梯形.其中真命题的序号是_______.
分析: 可采用反例法.即举的例子符合题没但不符合结论,从而说明原命题是假命题.①可举反例:平行四边形;②可证得另一组对边不平行,故符合定义;③可举反例:矩形;④直线与矩形垂直相交,则得到两个矩形.
答案 ②
说明:
梯形定义包括两个要素:1.一组对边平行;2.另一组对边不平行;不要认为只要有一组对边平行的四边形就是梯形.
阅读题:
例 (青海省2001年中考题)阅读了题和分析过程,并按要求进行证明.已知,四边形 中, , , ,求证:四边形 是等腰梯形.
分析:要证四边形 是等腰梯形,因为 ,所以只要证四边形 是梯形即可;又因为 ,故只需证 即可;要证 ,现有下图所示四种添作辅助线的方法,请任意选择其中两种图形,对原题进行证明.
解答略.
说明:这是一道设计得很好的阅读型试题.题目不仅给出了分析思路,还提供了四个已有辅助线的图形,说明本题有多种解法.但是,这些方法,体现了一个基本思路:努力转化,借助三角形知识加以突破,完成证明.
证明题:
例 如图,在梯形 中, , , 、 为 、 的中点。
求证:
分析:梯形的问题往往转化成平行四边形或三角形来处理,根据条件来决定转化和辅助线的添加.
证法一:如图,延长 , 相交于 点,连结 , .
∵
∵ 、 为 、 的中点,∴ ,
∴ ,
∵ ∴ ∴
∴ 、 、 三点共线 ∴ .
证法二 如图,过点 ,作
交 于 , 交 于
∵ ,
∴四边形 是平行四边形
∴
同理:
∵ ∴
∵
∴
∵ ∴ ,
∵ ∴ ∴
∵ ∴ 即
证法三 如图,过点 作 交 于 , 交 于 .
∵ ,
∴四边形 是平行四边形
∴
同理:
∴ ,
∵ ∴
∵ ∴
∵ ∴ ∴
∴ ∴ 即 .
说明:解题时要注意分析条件和结论,选择合适的切入点.
梯形典型例题之作图题
例 已知两底边及两条对角线求作梯形.
已知:线段 , , ,
求作:梯形 ,使 , , , , .
分析 如图,假设梯形 已作出, , , , , ,延长 到 ,使 ,连结 ,则四边形 是平行四边形,所以 ,故先作 .
作法(l)作 ,使 , , .
(2)过点 作 ,使
(3)在 上截取 ,连结 ,
∴ 四边形 为所求作的梯形.
证明 ∵ , , , ,
∵ ∴四边形 是平行四边形
∴ ∴梯形 就是所求作的梯形.
讨论: 如果 , , 三条线段中,最长的一条线段大于或等于其他两条线段之和,则此作图题无解.
梯形典型例题之面积题
例 如图,在梯形 中, , 为 的中点.
求证: .
分析:梯形的问题往往转化成平行四边形或三角形来处理,根据条件来决定转化和辅助线的添加.
证法一 如图,延长 交 的延长线于 .
∵ ∴ ,
∵ ∴
∴ , ∴ 是 的中线
∴
∴
∴
证法二 如图,过 点作 交 于 ,交 的延长线于 .
∵ ∴
∵ ∴
∴ ∴
∵ ∴
说明:解题时要注意分析条件和结论,选择合适的切入点.