第八节 梯形

典型例题

　　填空题:

　　例 下列命题：①一组对边平行且相等的四边形是梯形；②一组对边平行且不相等的四边形是梯形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形；④一条直线与矩形的一组对边相交，必分矩形为两个直角梯形．其中真命题的序号是_______.

　　分析: 可采用反例法．即举的例子符合题没但不符合结论，从而说明原命题是假命题．①可举反例：平行四边形；②可证得另一组对边不平行，故符合定义；③可举反例：矩形；④直线与矩形垂直相交，则得到两个矩形．

　　答案  ②

　　说明：

　　梯形定义包括两个要素：1．一组对边平行；2．另一组对边不平行；不要认为只要有一组对边平行的四边形就是梯形．

　　阅读题：

　　例 （青海省2001年中考题）阅读了题和分析过程，并按要求进行证明．已知，四边形 中， ， ， ，求证：四边形 是等腰梯形．

　　分析：要证四边形 是等腰梯形，因为 ，所以只要证四边形 是梯形即可；又因为 ，故只需证 即可；要证 ，现有下图所示四种添作辅助线的方法，请任意选择其中两种图形，对原题进行证明．

　　解答略.

　　说明：这是一道设计得很好的阅读型试题．题目不仅给出了分析思路，还提供了四个已有辅助线的图形，说明本题有多种解法．但是，这些方法，体现了一个基本思路：努力转化，借助三角形知识加以突破，完成证明．

　　证明题：

　　例  如图，在梯形 中， ， ， 、 为 、 的中点。

　　求证：

　　分析：梯形的问题往往转化成平行四边形或三角形来处理，根据条件来决定转化和辅助线的添加.

　　证法一：如图，延长 ， 相交于 点，连结 ， .

　　∵ 　　

　　∵ 、 为 、 的中点，∴ ，

　　∴ ，

　　∵ 　　∴ 　　∴

　　∴ 、 、 三点共线　　∴ .

　　证法二  如图，过点 ，作

　　交 于 ， 交 于

　　∵ ，

　　∴四边形 是平行四边形

　　∴

　　同理：

　　∵   ∴

　　∵

　　∴

　　∵ 　∴ ，

　　∵ 　∴ 　∴

　　∵ 　∴ 　即

　　证法三  如图，过点 作 交 于 ， 交 于 .

　　∵ ，

　　∴四边形 是平行四边形

　　∴

　　同理：

　　∴ ，

　　 

　　∵   ∴

　　∵   ∴

　　∵   ∴   ∴

　　∴   ∴ 即 . 

　　说明：解题时要注意分析条件和结论，选择合适的切入点.

梯形典型例题之作图题

　　例  已知两底边及两条对角线求作梯形．

　　已知：线段 ， ， ，

　　求作：梯形 ，使 ， ， ， ， ．

　　分析  如图，假设梯形 已作出， ， ， ， ， ，延长 到 ，使 ，连结 ，则四边形 是平行四边形，所以 ，故先作 ．

 

　　   作法（l）作 ，使 ， ， ．

　　（2）过点 作 ，使

　　（3）在 上截取 ，连结 ，

　　∴  四边形 为所求作的梯形．

　　证明   ∵ ， ， ， ，

　　∵     ∴四边形 是平行四边形

　　∴   ∴梯形 就是所求作的梯形．

　　讨论： 如果 ， ， 三条线段中，最长的一条线段大于或等于其他两条线段之和，则此作图题无解．

梯形典型例题之面积题

　　例  如图，在梯形 中， ， 为 的中点．

　　求证： .

  

　　分析：梯形的问题往往转化成平行四边形或三角形来处理，根据条件来决定转化和辅助线的添加. 

　　证法一  如图，延长 交 的延长线于 ．

　　  ∵     ∴ ，

　　  ∵   ∴

　　  ∴ ，    ∴ 是 的中线

　　 ∴

　　 ∴

　　 ∴

　　证法二  如图，过 点作 交 于 ，交 的延长线于 .

　　∵   ∴

　　∵    ∴

　　∴   ∴

　　∵   ∴

　　说明：解题时要注意分析条件和结论，选择合适的切入点.

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