第3讲　万有引力与航天

1．两颗人造卫星运动的轨迹都是圆，若轨道半径分别为r1、r2，向心加速度分别为a1、a2，角速度分别为ω1、ω2，则(　　)．

A.＝ B.＝

C.＝  D.＝ 

解析　根据万有引力提供向心力有G＝mω2r＝ma，整理得ω＝ ，a＝.所以，＝，＝ ，D项正确．

答案　D

2．如图1所示，在圆轨道上运行的国际空间站里，一宇航员A静止(相对于空间舱)“站”在舱内朝向地球一侧的“地面”B上．则下列说法中正确的是(　　)．

图1

A．宇航员A不受重力作用

B．宇航员A所受重力与他在该位置所受的万有引力相等

C．宇航员A与“地面”B之间的弹力大小等于重力

D．宇航员A将一小球无初速度(相对空间舱)释放，该小球将落到“地面”B上

解析　宇航员所受的万有引力等于该处宇航员的重力，万有引力提供该处做圆周运动的向心力，A错误、B正确；宇航员处于完全失重状态，和“地面”B间没有相互作用，C错误；将一小球无初速度释放，小球相对空间舱静止，不会落到“地面”B上，D错误．

答案　B

3．关于环绕地球运行的卫星，下列说法正确的是(　　)

A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期

B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率

C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同

D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合

解析 由开普勒第三定律可知A错误；沿椭圆轨道运行的卫星在关于长轴对称的两点速率相等，故B正确；所有同步卫星的轨道半径均相等，故C错误；沿不同轨道运行的卫星，其轨道平面只要过地心即可，不一定重合，故D错误．

答案 B

4．一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的(　　)．

A．向心加速度大小之比为4∶1

B．角速度之比为2∶1

C．周期之比为1∶8

D．轨道半径之比为1∶2

解析　根据Ek＝mv2得v＝ ，所以卫星变轨前、后的速度大小之比为＝.根据G＝m，得卫星变轨前、后的轨道半径之比为＝＝，选项D错误；根据G＝ma，得卫星变轨前、后的向心加速度大小之比为＝＝，选项A错误；根据G＝mω2r，得卫星变轨前、后的角速度之比为＝ ＝，选项B错误；根据T＝， 得卫星变轨前、后的周期之比为＝＝，选项C正确．

答案　C

5．今年4月30日，西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×107 m．它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为4.2×107 m)相比(　　)．

A．向心力较小

B．动能较大

C．发射速度都是第一宇宙速度

D．角速度较小

解析　由F向＝F万＝G知，中圆轨道卫星向心力大于同步轨道卫星(G、M、m相同)，故A错误．由Ek＝mv2，v＝ ，得Ek＝，且由R中

答案　B

6．我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km，“神舟八号”的运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则(　　)

A．“天宫一号”比“神舟八号”速度大

B．“天宫一号”比“神舟八号”周期长

C．“天宫一号”比“神舟八号”角速度大

D．“天宫一号”比“神舟八号”加速度大

解析 用万有引力定律处理天体问题的基本方法是：把天体的运动看成圆周运动，其做圆周运动的向心力由万有引力提供．

G＝m＝mrω2＝mr2＝m(2πf)2r＝ma，只有B正确．

答案 B

7．“嫦娥二号”卫星发射后直接进入近地点高度200千米、远地点高度约38万千米的地月转移轨道直接奔月，如图2所示．当卫星到达月球附近的特定位置时，卫星就必须“急刹车”，也就是近月制动，以确保卫星既能被月球准确捕获，又不会撞上月球，并由此进入近月点100千米、周期12小时的椭圆轨道a.再经过两次轨道调整，进入100千米的极月圆轨道b，轨道a和b相切于P点．下列说法正确的是(　　)

图2

A．“嫦娥二号”卫星的发射速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/s

B．“嫦娥二号”卫星的发射速度大于11.2 km/s

C．“嫦娥二号”卫星在a、b轨道经过P点的速度va＝vb

D．“嫦娥二号”卫星在a、b轨道经过P点的加速度分别为aa、ab，则aa

解析：“嫦娥二号”卫星的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，A项正确、B项错误；“嫦娥二号”卫星在a轨道经过P点时减小卫星速度，卫星即可由椭圆轨道a变为圆轨道b，故va>vb，但万有引力相同，加速度相同，C、D错误．

答案：A

8．北京航天飞行控制中心对“嫦娥二号”卫星实施多次变轨控制并获得成功．首次变轨是在卫星运行到远地点时实施的，紧随其后进行的3次变轨均在近地点实施．“嫦娥二号”卫星的首次变轨之所以选择在远地点实施，是为了抬高卫星近地点的轨道高度．同样的道理，要抬高远地点的高度就需要在近地点实施变轨．图3为“嫦娥二号”某次在近地点A由轨道1变轨为轨道2的示意图，下列说法中正确的是(　　)．

图3

A．“嫦娥二号”在轨道1的A点处应点火加速

B．“嫦娥二号”在轨道1的A点处的速度比在轨道2的A点处的速度大

C．“嫦娥二号”在轨道1的A点处的加速度比在轨道2的A点处的加速度大

D．“嫦娥二号”在轨道1的B点处的机械能比在轨道2的C点处的机械能大

解析　卫星要由轨道1变轨为轨道2需在A处做离心运动，应加速使其做圆周运动所需向心力m大于地球所能提供的万有引力G，故A项正确，B项错误；由G＝ma可知，卫星在不同轨道同一点处的加速度大小相等，C项错误；卫星由轨道1变轨到轨道2，反冲发动机的推力对卫星做正功，卫星的机械能增加，所以卫星在轨道1的B点处的机械能比在轨道2的C点处的机械能小，D项错误．

答案　A

9．如图4所示，地球赤道上的山丘e、近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则(　　)．

图4

A．v1>v2>v3 B．v1

C．a1>a2>a3 D．a1

解析　由题意可知：山丘与同步卫星角速度、周期相同，由v＝ωr，a＝ω2r可知v1

答案　BD

10．北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能．“北斗”系统中两颗工作卫星1和2均绕地心O做匀速圆周运动，轨道半径均为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置，如图5所示．若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力．以下判断正确的是(　　)．

图5

A．两颗卫星的向心加速度大小相等，均为

B．两颗卫星所受的向心力大小一定相等

C．卫星1由位置A运动到位置B所需的时间可能为 

D．如果要使卫星1追上卫星2，一定要使卫星1加速

答案　AC

11．宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t，小球落到该星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时初速度增大到原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L.已知两落地点在同一平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G.求该星球的质量M.

解析　

设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，当初速度变为原来2倍时，水平射程为2x，如图所示．

由几何关系可知：

L2＝h2＋x2①

(L)2＝h2＋(2x)2②

①②联立，得：h＝L

设该星球表面的重力加速度为g

则竖直方向h＝gt2③

又因为＝mg④

由③④联立，得M＝

答案　

12．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行．设每个星体的质量均为m，引力常量为G.

(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度大小和周期；

(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

解析　(1)第一种形式下，由万有引力定律和牛顿第二定律得G＋G＝m，

解得v＝ ，

故周期T＝＝4πR .

(2)第二种形式下，设星体之间的距离为L，由万有引力定律和牛顿第二定律得

2Gcos 30°＝mω2

而角速度ω＝，

解得L＝ .

答案　(1) 　4πR 　(2) 

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